Линейная функция и её график

Определение линейной функцииЛинейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x — независимая переменная, k и b — некоторые числа. При этом число k называют угловым коэффициентом прямой, а b – свободным членом.

График линейной функции представляет собой прямую линию. Для построения графика достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих графику функции, и провести через них прямую.

Свойства линейной функции:

1. Область определения: все действительные числа (D(y) = R).
2. Множество значений: все действительные числа (E(y) = R).
3. Если k ≠ 0, то функция возрастает или убывает на всей числовой прямой.
4. Если b = 0, то графиком функции является прямая, проходящая через начало координат.
5. График пересекает ось ординат в точке (0; b).
6. Если k > 0, то угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox острый.
7. Если k < 0, то угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox тупой.
8. Если k = 0, то график функции параллелен оси абсцисс.
9. Коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика функции к положительному направлению оси абсцисс. Свободный член b показывает значение функции в точке пересечения графика с осью ординат.

Примеры линейных функций

• y = x + 3. Это функция, график которой проходит через точки (0; 3) и (–3; 0). Её угловой коэффициент равен 1, а свободный член равен 3.
• y = –2x + 1. График этой функции проходит через точки (0; 1) и (½; 0). Угловой коэффициент равен –2, а свободный член равен 1.
• y = 0,5x. График функции проходит через начало координат под углом 45° к оси Ох. Угловой коэффициент равен 0,5, а свободный член равен нулю.

Построение графика линейной функцииДля построения графика линейной функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти координаты двух точек графика, подставив два разных значения х в уравнение функции.
2. Отметить найденные точки на координатной плоскости.
3. Провести через эти две точки прямую — это и будет график линейной функции.

Пример: построим график функции y = 2x – 1. Подставим вместо x значения 0 и 1:

• при x = 0: *y = 2 0 – 1 = –1**;
• при x = 1: *y = 2 1 – 1 = 1**.

Получили две точки: (0; –1) и (1; 1). Построим их на координатной плоскости и проведём через них прямую — график функции y = 2x – 1.

Применение линейной функции в информатикеВ информатике линейные функции используются для моделирования различных процессов, таких как рост популяции, изменение температуры, движение объекта и т. д. Например, в программировании линейная функция может быть использована для вычисления расстояния, пройденного объектом за определённое время.

Также линейные функции применяются в алгоритмах машинного обучения для прогнозирования результатов на основе входных данных. В этом случае линейная модель используется для создания уравнения, которое описывает взаимосвязь между входными переменными и целевой переменной.

Таким образом, линейная функция является важным инструментом в математике и информатике, который находит широкое применение в различных областях.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое линейная функция?
2. Как построить график линейной функции?
3. Какие свойства имеет линейная функция?
4. Где применяется линейная функция в информатике?

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите область определения и множество значений функции y = 3x – 4.
2. Постройте график функции y = –x + 5.
3. Определите, возрастает или убывает функция y = 4x – 6.
4. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку (2; 3) параллельно оси ординат.