Линейная функция и её график
Определение линейной функцииЛинейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x — независимая переменная, k и b — некоторые числа. При этом число k называют угловым коэффициентом прямой, а b – свободным членом.
График линейной функции представляет собой прямую линию. Для построения графика достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих графику функции, и провести через них прямую.
Свойства линейной функции:
- Область определения: все действительные числа (D(y) = R).
- Множество значений: все действительные числа (E(y) = R).
- Если k ≠ 0, то функция возрастает или убывает на всей числовой прямой.
- Если b = 0, то графиком функции является прямая, проходящая через начало координат.
- График пересекает ось ординат в точке (0; b).
- Если k > 0, то угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox острый.
- Если k < 0, то угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox тупой.
- Если k = 0, то график функции параллелен оси абсцисс.
- Коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика функции к положительному направлению оси абсцисс. Свободный член b показывает значение функции в точке пересечения графика с осью ординат.
Примеры линейных функций
- y = x + 3. Это функция, график которой проходит через точки (0; 3) и (–3; 0). Её угловой коэффициент равен 1, а свободный член равен 3.
- y = –2x + 1. График этой функции проходит через точки (0; 1) и (½; 0). Угловой коэффициент равен –2, а свободный член равен 1.
- y = 0,5x. График функции проходит через начало координат под углом 45° к оси Ох. Угловой коэффициент равен 0,5, а свободный член равен нулю.
Построение графика линейной функцииДля построения графика линейной функции необходимо выполнить следующие шаги:
- Найти координаты двух точек графика, подставив два разных значения х в уравнение функции.
- Отметить найденные точки на координатной плоскости.
- Провести через эти две точки прямую — это и будет график линейной функции.
Пример: построим график функции y = 2x – 1. Подставим вместо x значения 0 и 1:
- при x = 0: *y = 2 0 – 1 = –1**;
- при x = 1: *y = 2 1 – 1 = 1**.
Получили две точки: (0; –1) и (1; 1). Построим их на координатной плоскости и проведём через них прямую — график функции y = 2x – 1.
Применение линейной функции в информатикеВ информатике линейные функции используются для моделирования различных процессов, таких как рост популяции, изменение температуры, движение объекта и т. д. Например, в программировании линейная функция может быть использована для вычисления расстояния, пройденного объектом за определённое время.
Также линейные функции применяются в алгоритмах машинного обучения для прогнозирования результатов на основе входных данных. В этом случае линейная модель используется для создания уравнения, которое описывает взаимосвязь между входными переменными и целевой переменной.
Таким образом, линейная функция является важным инструментом в математике и информатике, который находит широкое применение в различных областях.
Вопросы для самоконтроля
- Что такое линейная функция?
- Как построить график линейной функции?
- Какие свойства имеет линейная функция?
- Где применяется линейная функция в информатике?
Задачи для самостоятельного решения
- Найдите область определения и множество значений функции y = 3x – 4.
- Постройте график функции y = –x + 5.
- Определите, возрастает или убывает функция y = 4x – 6.
- Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку (2; 3) параллельно оси ординат.