Раскрытие скобок и распределительный закон - это важные концепции в математике, которые помогают нам упростить выражения и решать уравнения. Эти темы являются основой алгебры и встречаются в различных математических задачах. Понимание этих понятий позволяет не только выполнять арифметические операции быстрее, но и развивает логическое мышление. Давайте подробно разберем, что такое распределительный закон, как он работает и как правильно раскрывать скобки.

Что такое распределительный закон? Распределительный закон утверждает, что если у нас есть произведение числа и суммы, то это произведение можно распределить на каждое слагаемое суммы. Формально это можно записать так: a(b + c) = ab + ac. Это означает, что если мы умножаем число a на сумму b и c, то мы можем сначала умножить a на b, а затем a на c, и в итоге сложить результаты.

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять, как это работает. Пусть у нас есть выражение 3(4 + 5). По распределительному закону мы можем раскрыть скобки: сначала умножим 3 на 4, а затем 3 на 5. Это будет выглядеть так:

• 3 * 4 = 12
• 3 * 5 = 15

Теперь складываем полученные результаты: 12 + 15 = 27. Таким образом, 3(4 + 5) = 27.

Теперь давайте рассмотрим, как раскрыть скобки, если у нас есть выражение с несколькими слагаемыми. Например, 2(x + 3y + 5). Здесь мы применяем распределительный закон к каждому слагаемому в скобках:

• 2 * x = 2x
• 2 * 3y = 6y
• 2 * 5 = 10

Теперь складываем все полученные результаты: 2x + 6y + 10. Таким образом, 2(x + 3y + 5) = 2x + 6y + 10.

Важно отметить, что распределительный закон работает не только с суммами, но и с разностями. Например, в выражении 4(2x - 3) мы также можем использовать этот закон:

• 4 * 2x = 8x
• 4 * (-3) = -12

Итак, 4(2x - 3) = 8x - 12.

При раскрытии скобок необходимо быть внимательным к знакам. Если у нас есть выражение с отрицательным знаком перед скобками, например, -2(x - 4), то при раскрытии скобок мы должны изменить знаки:

• -2 * x = -2x
• -2 * (-4) = +8

Таким образом, -2(x - 4) = -2x + 8.

Теперь, когда мы разобрались с основами раскрытия скобок и распределительного закона, давайте рассмотрим несколько практических задач. Например, упростим выражение 5(2x + 3) - 3(4 - x). Сначала раскрываем скобки:

• 5 * 2x = 10x
• 5 * 3 = 15
• -3 * 4 = -12
• -3 * (-x) = +3x

Теперь подставляем все результаты в выражение: 10x + 15 - 12 + 3x. Объединим подобные слагаемые:

• 10x + 3x = 13x
• 15 - 12 = 3

Итак, окончательный ответ: 13x + 3.

В заключение, освоение темы раскрытия скобок и распределительного закона является важным шагом в изучении алгебры. Эти навыки не только помогают в решении уравнений, но и развивают аналитическое мышление. Практикуйтесь на различных примерах, чтобы закрепить полученные знания. Чем больше вы будете решать задач, тем увереннее будете себя чувствовать в математике.