Степень с рациональным показателем

ВведениеВ математике и информатике часто встречаются задачи, связанные с возведением числа в степень. Степенью числа a с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Например, 3² = 9, так как 3 * 3 = 9. Однако, что делать, если показатель степени не является натуральным числом? В этом случае мы можем использовать понятие степени с рациональным показателем.

Определение степени с рациональным показателемСтепенью числа a с рациональным показателем m/n, где m — целое число, а n — натуральное число, называется корень n-ой степени из числа a в степени m. То есть,a^m/n = (корень n-ой степени из a)^m

Например, 2^(1/2) = √2, так как √2 * √2 = 2.

Важно отметить, что для того чтобы вычислить степень с рациональным показателем, необходимо сначала определить значение корня n-ой степени. Для этого можно использовать различные методы, такие как метод разложения на множители, метод замены переменной или метод подбора.

Свойства степени с рациональным показателем

1. Свойство произведения степеней: Если a и b — положительные числа, то(a^m b^n)^p = a^mp b^npгде m, n и p — рациональные числа.Пример: (2³ 5²)² = 4 25 = 100

2. Свойство частного степеней: Если a и b — положительные числа и a ≠ 0, то(a/b)^m = a^m / b^mгде m — рациональное число.Пример: (3/5)² = 9/25

3. Возведение степени в степень: Если a — положительное число и m и n — рациональные числа, то(a^m)^n = a^(mn)Пример: ((2³)²)³ = 8³ = 512

4. Умножение степеней с одинаковыми основаниями: Если a — положительное число и m и n — рациональные числа, тоa^(m + n) = a^m a^nПример: 2^(3 + 2) = 2³ 2² = 8 * 4 = 32

5. Деление степеней с одинаковыми основаниями: Если a — положительное число и m и n — рациональные числа и m > n, тоa^(m - n) = a^m : a^nПример: 6^(2 - 1) = 6² : 6¹ = 36 : 6 = 6

Эти свойства позволяют упростить вычисления и решать более сложные задачи.

Примеры задачЗадача 1: Вычислить (3√2)⁴Решение: Сначала вычислим значение 3√2:3√2 = √(2 2 2) = √8 = 2√2Теперь подставим полученное значение в выражение:(3√2)⁴ = (2√2)⁴ = 16 * 2 = 32Ответ: 32.

Задача 2: Упростить выражение (x³y²)⅔Решение: Используя свойство возведения степени в степень, получаем:(x³y²)⅔ = (x³ y²)⅔ = x³⅔ y²⅔Ответ: x³⅔ * y²⅔.

Задача 3: Решить уравнение x^(2/3) = 8Решение: Возведем обе части уравнения в куб:x^(2*3) = (8)³x² = 512x = ±√512 = ±8√2Ответ: ±8√2.

Таким образом, степень с рациональным показателем является важным понятием в математике и информатике. Она позволяет выполнять различные операции со степенями и упрощать вычисления.