Тема: «Объём тела вращения» Цель: изучить понятие объёма тела вращения и научиться его вычислять. Определение: объём тела вращения — это объём фигуры, полученной в результате вращения плоской фигуры вокруг оси. Для вычисления объёма тела вращения используются формулы, основанные на использовании определённого интеграла. Эти формулы зависят от формы тела и оси вращения. Рассмотрим несколько примеров тел вращения: Цилиндр. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Объём цилиндра можно вычислить по формуле: $V = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра. Конус. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Объём конуса можно вычислить по формуле: $V=\frac{1}{3} \pi R^2h$, где $R$ — радиус основания конуса, $h$ — его высота. Шар. Тело, ограниченное сферой. Объём шара можно вычислить по формуле: $V= \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара. Чтобы вычислить объём тела вращения, необходимо выполнить следующие шаги: 1. Определить форму тела. Это может быть цилиндр, конус, шар или другая фигура. 2. Найти ось вращения. Ось вращения может проходить через центр фигуры или через её край. 3. Записать формулу для вычисления объёма тела с учётом формы и оси вращения. 4. Подставить значения параметров в формулу и вычислить объём. 5. Проверить полученный результат. Пример 1: вычислить объём конуса высотой $h=10$ см и радиусом основания $R=5$ см. Решение: 1) Определяем форму тела: конус. 2) Находим ось вращения: проходит через основание конуса. 3) Записываем формулу: $V=\frac{1}{3} \pi R^2h$. 4) Подставляем значения: $V=\frac{1}{3} 3,14 (5 см)^2 10 см = 261,67 см^3$. 5) Проверяем результат: ответ выглядит правдоподобно. Вопросы для самоконтроля: Что такое объём тела вращения? Какие формулы используются для вычисления объёмов различных тел вращения? Как определить форму тела? Где проходит ось вращения? Дополнительные задания: Вычислить объём цилиндра высотой $h = 8$ см и диаметром основания $d = 4$ см. Найти объём шара радиусом $R = 6$ см.