Тема: «Решение уравнений, содержащих модуль» Модуль числа и его свойства Модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, соответствующей этому числу на числовой прямой. Модуль обозначается символом |x| и определяется следующим образом: |x| = x, если x ≥ 0; |x| = -x, если x < 0. Например, |5| = 5, |-3| = 3. Свойства модуля: 1. |a| ≥ 0 для любого a ∈ R (R — множество действительных чисел). 2. |−a| = |a|. 3. |a + b| ≤ |a| + |b|. 4. Если a ≥ 0, то |a| = a. 5. Если a < 0, то −a = |a|, то есть |a| = −a. 6. Для любых a и b справедливо равенство: |a − b| = |b − a|. 7. Если |a| < |b|, то a < b. 8. Если |a| > |b|, то либо a > b, либо a < −b. 9. Если |a| = |b|, то либо a = b, либо a = −b. Эти свойства помогают решать уравнения, содержащие модуль. Уравнения с модулем Уравнение с модулем — это уравнение, в котором переменная находится под знаком модуля. Чтобы решить такое уравнение, нужно раскрыть модуль, используя его определение или свойства. Существует несколько способов решения уравнений с модулем: 1. Раскрытие модуля по определению. Этот способ заключается в том, что мы раскрываем модуль, рассматривая два случая: когда выражение под модулем больше или равно нулю и когда оно меньше нуля. Пример: решить уравнение |x − 3| = 2. Решение: Если x − 3 ≥ 0, то x ≥ 3, тогда |x − 3| = x − 3. Получаем уравнение x − 3 = 2, откуда x = 5. Если же x − 3 < 0, то x < 3, и тогда |x − 3| = −(x − 3) = 3 − x. Получим уравнение 3 − x = 2, откуда x = 1. Ответ: 1; 5. 2. Использование свойств модуля. Этот метод основан на свойствах модуля, которые позволяют упростить уравнение. Пример: решить уравнение |3x + 1| = 7. Решение: Так как модуль всегда неотрицателен, то 3x + 1 ≥ 0. Отсюда следует, что 3x ≥ −1, а значит, x ≥ −⅓. Тогда |3x + 1| = 3x + 1. Получаем уравнение 3x + 1 = 7, откуда x = 2. Ответ: 2. 3. Графический метод. Этот подход заключается в построении графика функции y = |f(x)| и определении точек пересечения с осью абсцисс. Пример: решить уравнение |2x − 1| = x + 3. Решение: Построим графики функций y = |2x − 1| и y = x + 3 в одной системе координат. Графиком первой функции будет ломаная, состоящая из двух лучей, исходящих из точек (0; 0) и (½; 1), а графиком второй функции — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (−3; 0). Точка пересечения графиков имеет координаты (1; 4). Ответ: 1. 4. Метод интервалов. Этот способ основан на разбиении числовой оси на промежутки, на каждом из которых модуль раскрывается определённым образом. Пример: решить уравнение ||x − 2| − 1| = 3. Решение: Разобьём числовую ось на три промежутка: (−∞; 1], [1; 2] и [2; +∞). На первом промежутке |x − 2| = x − 2 < 1, поэтому ||x − 2| − 1| = −x + 2 − 1 = −x + 1 < 3. На втором промежутке |x − 2| = x − 2 = 1, следовательно, ||x − 2| − 1| = 0 < 3. Наконец, на третьем промежутке |x − 2| = x − 2 > 1, значит, ||x − 2| − 1| = x − 2 −