Свойства квадратного корня Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a. Это число обозначают как $\sqrt{a}$. Например, если $a = 9$, то $\sqrt{9} = 3$, потому что $3^2 = 9$. Свойства квадратного корня: 1. Корень из произведения: квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел. $\sqrt {ab} = \sqrt {a} \sqrt {b}$ Например, $\sqrt {45} = \sqrt {9 5} = \sqrt {9} \sqrt {5} = 3 \sqrt {5}$. 2. Корень из дроби: квадратный корень из дроби, числитель которой является квадратом натурального числа, а знаменатель — положительное число, равен отношению квадратного корня из числителя и квадратного корня из знаменателя. $\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}} = \sqrt {\frac {a}{b}}$ Например, $\frac {\sqrt {16}}{\sqrt {8}} = \frac {4}{2} = 2$. 3. Извлечение квадратного корня из степени: чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на два, нужно представить подкоренное выражение в виде степени с основанием, равным квадрату делителя показателя. $\sqrt {{a}^{2n}} = |a|^n$ Например, $\sqrt{{(-5)}^{4}} = |-5|^2 = 5^2 = 25$. 4. Внесение множителя под знак корня: чтобы внести множитель под знак квадратного корня, нужно возвести этот множитель во вторую степень. $\sqrt {ac} = \sqrt {a^2 c}$ Например, $\sqrt {75} = \sqrt{(5 3)^2} = \sqrt{25 9} = 5 \sqrt {3}$. 5. Вынесение множителя из-под знака корня: чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, нужно подкоренное число разложить на множители так, чтобы одно из них было квадратом натурального числа. $a \sqrt {b} = \sqrt {a^2 b}$ Например, $5 \sqrt {6} = \sqrt {(5 \cdot \sqrt {6})^2} = \sqrt {25 6} = \sqrt {150}$. 6. Сравнение квадратных корней: квадратные корни можно сравнивать, используя правило сравнения обыкновенных дробей. Чем больше подкоренное число, тем больше значение квадратного корня. Если подкоренные числа равны, то равны и значения квадратных корней. Например, сравним $\sqrt {5}$ и $\sqrt {2}$. Так как $5 > 2$, то и $\sqrt {5} > \sqrt {2}$. Эти свойства помогают упростить вычисления и преобразовать выражения, содержащие квадратные корни. Они также используются для решения уравнений и неравенств, содержащих квадратные корни. Вопросы: Что такое квадратный корень? Как извлечь квадратный корень из числа? Какие свойства квадратного корня существуют? Можно ли сравнить квадратные корни? Примеры: Извлеките квадратный корень из следующих чисел: 4, 9, 16, 25, 36. Сравните следующие квадратные корни: $\sqrt {3}$ и $\sqrt {5}$, $\sqrt {12}$ и $\sqrt {18}$. Внесите множитель под знак корня: $2 \sqrt {3}$, $5 \sqrt {7}$. Вынесите множитель из-под знака корня: $\sqrt {48}$, $\sqrt {96}$. Решение: Пример 1. Извлечём квадратный корень из чисел 4, 9, 16, 25 и 36: $\sqrt {4} = 2$; $\sqrt {9} = 3$; $\sqrt {16} = 4$; $\sqrt {25} = 5$; $\sqrt {36} = 6$. Для извлечения квадратного корня мы используем определение квадратного корня и находим число, которое при возведении в квадрат даёт исходное число. Пример 2. Сравним квадратные корни $\sqrt {3}$ и $\sqrt {5}$, а также $\sqrt {12}$ и $\sqrt {18}$: Так как 3 < 5, то и $\