1.5|x-12|-0.5|4-x|<x-10

Решите неравенство

Алгебра 10 класс Неравенства с модулями Новый

Для решения неравенства 1.5|x-12| - 0.5|4-x| < x - 10, начнем с того, что у нас есть модули. Модули могут принимать разные значения в зависимости от знака выражений внутри них. Поэтому мы сначала определим, при каких значениях x будут различные случаи.

Рассмотрим выражения внутри модулей:

• |x - 12|: изменяет знак при x = 12
• |4 - x|: изменяет знак при x = 4

Таким образом, нам нужно рассмотреть три интервала, определенные этими значениями:

• Интервал 1: x < 4
• Интервал 2: 4 ≤ x < 12
• Интервал 3: x ≥ 12

Теперь решим неравенство для каждого интервала по отдельности.

1. Интервал 1: x < 4

В этом случае |x - 12| = 12 - x и |4 - x| = 4 - x. Подставим в неравенство:

1.5(12 - x) - 0.5(4 - x) < x - 10

Упрощаем:

1. 18 - 1.5x - 2 + 0.5x < x - 10
2. 16 - x < x - 10
3. 16 + 10 < 2x
4. 26 < 2x
5. x > 13

Однако, это решение не попадает в интервал (x < 4), значит, в этом интервале решений нет.

2. Интервал 2: 4 ≤ x < 12

В этом случае |x - 12| = 12 - x и |4 - x| = x - 4. Подставим в неравенство:

1.5(12 - x) - 0.5(x - 4) < x - 10

Упрощаем:

1. 18 - 1.5x - 0.5x + 2 < x - 10
2. 20 - 2x < x - 10
3. 20 + 10 < 3x
4. 30 < 3x
5. x > 10

Решение x > 10 попадает в интервал [4, 12), значит, здесь мы имеем решение 10 < x < 12.

3. Интервал 3: x ≥ 12

В этом случае |x - 12| = x - 12 и |4 - x| = x - 4. Подставим в неравенство:

1.5(x - 12) - 0.5(x - 4) < x - 10

Упрощаем:

1. 1.5x - 18 - 0.5x + 2 < x - 10
2. x - 16 < x - 10
3. -16 < -10

Это неравенство всегда верно, поэтому в интервале x ≥ 12 все значения удовлетворяют неравенству.

Итак, обобщая все найденные решения:

• Из интервала 2: 10 < x < 12
• Из интервала 3: x ≥ 12

Таким образом, окончательное решение неравенства:

x > 10.