Как можно решить неравенство: |3 - 7x| >= |x + 5|?

Алгебра 10 класс Неравенства с модулями решение неравенства алгебра 10 класс неравенства с модулями |3 - 7x| >= |x + 5| методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство |3 - 7x| >= |x + 5|, нам нужно рассмотреть два случая для каждого из модулей, так как модуль может принимать разные значения в зависимости от знака выражения внутри него.

Сначала определим точки, в которых выражения внутри модулей равны нулю:

• 3 - 7x = 0 => x = 3/7
• x + 5 = 0 => x = -5

Теперь у нас есть две критические точки: x = 3/7 и x = -5. Эти точки делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -5)
• [-5, 3/7]
• (3/7, +∞)

Теперь рассмотрим каждый интервал по отдельности.

1. Интервал (-∞, -5):

Для x < -5:

• |3 - 7x| = 3 - 7x (так как 3 - 7x > 0)
• |x + 5| = -(x + 5) = -x - 5 (так как x + 5 < 0)

Теперь подставим это в неравенство:

3 - 7x >= -x - 5

Соберем все x в одну сторону:

3 + 5 >= -x + 7x

8 >= 6x

x <= 4/3

Так как 4/3 > -5, то на этом интервале решение будет: x < -5.

2. Интервал [-5, 3/7]:

Для -5 <= x <= 3/7:

• |3 - 7x| = 3 - 7x (так как 3 - 7x >= 0)
• |x + 5| = x + 5 (так как x + 5 >= 0)

Подставляем в неравенство:

3 - 7x >= x + 5

Соберем все x в одну сторону:

3 - 5 >= x + 7x

-2 >= 8x

x <= -1/4

Так как -1/4 находится в пределах интервала [-5, 3/7], то решение на этом интервале: -5 <= x <= -1/4.

3. Интервал (3/7, +∞):

Для x > 3/7:

• |3 - 7x| = 7x - 3 (так как 3 - 7x < 0)
• |x + 5| = x + 5 (так как x + 5 > 0)

Подставляем в неравенство:

7x - 3 >= x + 5

Соберем все x в одну сторону:

7x - x >= 5 + 3

6x >= 8

x >= 4/3

Так как 4/3 > 3/7, то решение на этом интервале: x >= 4/3.

Теперь объединим все найденные решения:

• x < -5
• -5 <= x <= -1/4
• x >= 4/3

Таким образом, окончательное решение неравенства |3 - 7x| >= |x + 5|:

x < -5 или -5 <= x <= -1/4 или x >= 4/3.