Давайте решим уравнение!

Уравнение, которое нам нужно решить, выглядит так:

1/2sin(2x) + sin^2(x) - sin(x) = cos(x)

Сначала преобразуем его. Зная, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x),мы можем переписать уравнение:

1/2 * 2sin(x)cos(x) + sin^2(x) - sin(x) = cos(x)

Это упрощается до:

sin(x)cos(x) + sin^2(x) - sin(x) = cos(x)

Теперь соберем все в одну сторону:

sin(x)cos(x) + sin^2(x) - sin(x) - cos(x) = 0

Теперь давайте попробуем выразить это уравнение через синусы и косинусы. Используем тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

sin^2(x) + sin(x)cos(x) - sin(x) - (1 - sin^2(x)) = 0

Упрощаем:

2sin^2(x) + sin(x)cos(x) - sin(x) - 1 = 0

Теперь мы готовы найти корни!

Для этого мы можем использовать единичную окружность. Мы знаем, что:

• sin(x) - это y-координата точки на окружности.
• cos(x) - это x-координата точки на окружности.

Решим уравнение численно или графически, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют этому уравнению. Нам нужны корни на отрезке [-2π; -π/2].

Теперь найдем корни:

1. Находим значения x, при которых sin(x) = cos(x). Это происходит в точках, где угол x равен -π/4 + kπ.
2. Теперь подставим k = -2 и k = -1, чтобы найти корни в заданном интервале.
3. Для k = -2: x = -π/4 - 2π = -9π/4 (не подходит, так как не в интервале)
4. Для k = -1: x = -π/4 - π = -5π/4 (подходит, так как -5π/4 = -3.93, что больше -2π и меньше -π/2).

Таким образом, корень уравнения в заданном интервале:

x = -5π/4.

Вот и все! У нас есть корень уравнения на отрезке [-2π; -π/2]. Удачи в дальнейшем изучении тригонометрии!