Помогите, пожалуйста, решить уравнение 3sin(x) + 4cos(x) = 1

Алгебра 10 класс Уравнения тригонометрической функции решение уравнения алгебра Тригонометрия синус косинус уравнение 3sin(x) + 4cos(x) = 1 математическая помощь Новый

Для решения уравнения 3sin(x) + 4cos(x) = 1, давайте следовать поэтапно.

Шаг 1: Переписываем уравнение

Сначала мы можем переписать уравнение в более удобной форме:

• 3sin(x) + 4cos(x) - 1 = 0

Шаг 2: Используем метод приведения к одному тригонометрическому выражению

Для этого уравнения мы можем выразить одну тригонометрическую функцию через другую. Мы можем использовать формулу для суммы синуса и косинуса:

• Rsin(x + φ) = 3sin(x) + 4cos(x)

Где R = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5, а φ - это угол, который мы определим следующим образом:

• cos(φ) = 4/5
• sin(φ) = 3/5

Шаг 3: Переписываем уравнение через R и φ

Теперь мы можем переписать уравнение:

• 5sin(x + φ) = 1

Теперь разделим обе стороны на 5:

• sin(x + φ) = 1/5

Шаг 4: Находим угол

Теперь нам нужно найти значение x + φ, для которого sin(x + φ) = 1/5. Используем обратную функцию синуса:

• x + φ = arcsin(1/5) + 2kπ, где k - любое целое число (для всех периодов функции)
• или x + φ = π - arcsin(1/5) + 2kπ

Шаг 5: Выражаем x

Теперь нам нужно выразить x:

• x = arcsin(1/5) - φ + 2kπ
• x = π - arcsin(1/5) - φ + 2kπ

Шаг 6: Подставляем значение φ

Теперь подставим φ = arcsin(3/5) (так как φ = arcsin(3/5) и cos(φ) = 4/5):

• x = arcsin(1/5) - arcsin(3/5) + 2kπ
• x = π - arcsin(1/5) - arcsin(3/5) + 2kπ

Шаг 7: Получаем окончательные решения

Таким образом, у нас есть два выражения для x:

• x = arcsin(1/5) - arcsin(3/5) + 2kπ
• x = π - arcsin(1/5) - arcsin(3/5) + 2kπ

Теперь вы можете подставить значения для k (например, k = 0, 1, -1 и т.д.), чтобы получить конкретные решения уравнения.