Используя результаты в задании 1б, постройте график функции f(x)=-x²-4x+1. Найдите по графику:

1. нули функции; промежутки, в которых f(x)<0 и f(x)>0.
2. промежутки возрастания и убывания функции; наибольшее её значение.

Алгебра 10 класс Графики функций график функции нули функции промежутки f(x)<0 промежутки f(x)>0 возрастание функции убывание функции Наибольшее значение функции Новый

Для того чтобы построить график функции f(x) = -x² - 4x + 1, давайте сначала найдем ключевые характеристики этой функции.

Шаг 1: Определение нулей функции

Нули функции - это значения x, при которых f(x) = 0. Чтобы найти их, решим уравнение:

-x² - 4x + 1 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = -1, b = -4, c = 1.
• D = (-4)² - 4 * (-1) * 1 = 16 + 4 = 20.

Поскольку D > 0, у уравнения два различных корня:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (4 + √20) / (-2) = -2 - √5.
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (4 - √20) / (-2) = -2 + √5.

Шаг 2: Промежутки, в которых f(x) > 0

Так как парабола открыта вниз (коэффициент при x² отрицательный), функция будет больше нуля между корнями:

f(x) > 0 на промежутке (-2 - √5, -2 + √5).

Шаг 3: Промежутки возрастания и убывания функции

Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем вершину параболы. Вершина параболы находится по формуле:

x_вершины = -b / (2a) = -(-4) / (2 * -1) = 2.

Так как a < 0, функция убывает на промежутке (-∞, 2) и возрастает на промежутке (2, +∞).

Шаг 4: Наибольшее значение функции

Наибольшее значение функции достигается в вершине. Подставим x = -2 в исходную функцию:

f(-2) = -(-2)² - 4*(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5.

Таким образом, наибольшее значение функции равно 5.

Итак, резюмируем:

• Нули функции: x₁ = -2 - √5, x₂ = -2 + √5.
• Промежутки, в которых f(x) > 0: (-2 - √5, -2 + √5).
• Промежутки убывания: (-∞, -2); возрастания: (-2, +∞).
• Наибольшее значение функции: 5, достигается при x = -2.

Теперь, используя эти данные, вы можете построить график функции. Не забудьте отметить ключевые точки: нули функции и вершину.