Известно, что синус альфа плюс косинус альфа равно 1/2. Как можно найти: синус в кубе альфа плюс косинус в кубе альфа?

Алгебра 10 класс Тригонометрические функции алгебра синус альфа косинус альфа синус в кубе косинус в кубе уравнение Тригонометрия математические задачи Новый

Привет! Давай разберемся с этой задачей, это будет увлекательно!

Итак, у нас есть выражение:

sin(α) + cos(α) = 1/2

И нам нужно найти:

sin³(α) + cos³(α)

Сначала воспользуемся формулой для суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

В нашем случае:

• a = sin(α)
• b = cos(α)

Поэтому:

sin³(α) + cos³(α) = (sin(α) + cos(α))((sin(α))² - sin(α)cos(α) + (cos(α))²)

Теперь подставим, что sin(α) + cos(α) = 1/2:

sin³(α) + cos³(α) = (1/2)((sin(α))² - sin(α)cos(α) + (cos(α))²)

Далее, воспользуемся тем, что:

• (sin(α))² + (cos(α))² = 1

Таким образом, мы можем заменить (sin(α))² + (cos(α))² на 1:

sin³(α) + cos³(α) = (1/2)(1 - sin(α)cos(α))

Теперь нам нужно найти значение sin(α)cos(α). Мы можем использовать формулу:

sin(α)cos(α) = (1/2)sin(2α)

Но для этого нам нужно найти sin(2α) или хотя бы sin(α) и cos(α) по отдельности. Давай это сделаем!

Из уравнения:

(sin(α) + cos(α))² = (1/2)²

Раскроем скобки:

sin²(α) + 2sin(α)cos(α) + cos²(α) = 1/4

И подставим, что sin²(α) + cos²(α) = 1:

1 + 2sin(α)cos(α) = 1/4

Теперь решим это уравнение:

2sin(α)cos(α) = 1/4 - 1

2sin(α)cos(α) = -3/4

sin(α)cos(α) = -3/8

Теперь подставим это значение обратно в наше выражение для sin³(α) + cos³(α):

sin³(α) + cos³(α) = (1/2)(1 - (-3/8))

sin³(α) + cos³(α) = (1/2)(1 + 3/8)

sin³(α) + cos³(α) = (1/2)(11/8)

sin³(α) + cos³(α) = 11/16

Вот и всё! Мы нашли, что:

sin³(α) + cos³(α) = 11/16

Надеюсь, это было интересно! Успехов в учёбе!