Известно, что синус альфа плюс косинус альфа равно 1/2. Как можно найти: синус в кубе альфа плюс косинус в кубе альфа?

Алгебра 10 класс Тригонометрические функции и их свойства алгебра синус альфа косинус альфа синус в кубе косинус в кубе тригонометрические функции уравнение решение математические задачи Новый

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться известными тригонометрическими тождествами и свойствами кубов. Начнем с того, что у нас есть уравнение:

sin(α) + cos(α) = 1/2

Мы хотим найти значение:

sin³(α) + cos³(α)

Существует формула для суммы кубов, которая выглядит следующим образом:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

В нашем случае a = sin(α) и b = cos(α). Подставим в формулу:

sin³(α) + cos³(α) = (sin(α) + cos(α))((sin(α))² - sin(α)cos(α) + (cos(α))²)

Теперь нам нужно найти значение каждого из элементов в правой части уравнения.

1. Сначала найдем (sin(α) + cos(α)):

   У нас уже есть это значение: sin(α) + cos(α) = 1/2.

2. Теперь найдем (sin²(α) + cos²(α)):

   По основному тригонометрическому тождеству мы знаем, что:

   sin²(α) + cos²(α) = 1.

3. Теперь найдем sin(α)cos(α):

   Мы можем выразить sin(α)cos(α) через (sin(α) + cos(α)). Используем следующее:

   (sin(α) + cos(α))² = sin²(α) + cos²(α) + 2sin(α)cos(α).

   Подставим известные значения:

   (1/2)² = 1 + 2sin(α)cos(α).

   Это дает нам:

   1/4 = 1 + 2sin(α)cos(α).

   Теперь решим это уравнение:

   2sin(α)cos(α) = 1/4 - 1 = -3/4.

   Таким образом, sin(α)cos(α) = -3/8.

Теперь подставим все найденные значения в формулу для суммы кубов:

sin³(α) + cos³(α) = (1/2)((1) - (-3/8) + (1))

Упростим это выражение:

1 - (-3/8) = 1 + 3/8 = 8/8 + 3/8 = 11/8.

Теперь подставим это в формулу:

sin³(α) + cos³(α) = (1/2)(11/8) = 11/16.

Таким образом, мы нашли, что:

sin³(α) + cos³(α) = 11/16.