Известно, что синус альфа плюс косинус альфа равно 1/2. Как найти произведение синуса альфа и косинуса альфа?

Алгебра 10 класс Тригонометрические функции синус альфа косинус альфа алгебра Тригонометрия произведение синуса и косинуса уравнение синуса и косинуса Новый

Чтобы найти произведение синуса и косинуса угла альфа, начнем с данного уравнения:

Синус альфа + Косинус альфа = 1/2

Обозначим:

• sin(α) = x
• cos(α) = y

Тогда у нас есть:

x + y = 1/2

Также мы знаем, что:

x² + y² = 1

Это уравнение следует из основного тригонометрического тождества, так как синус и косинус любого угла связаны с единичной окружностью.

Теперь мы можем выразить y из первого уравнения:

y = 1/2 - x

Подставим это значение y во второе уравнение:

x² + (1/2 - x)² = 1

Раскроем скобки:

x² + (1/4 - x + x²) = 1

2x² - x + 1/4 = 1

Теперь перенесем 1 на левую сторону:

2x² - x + 1/4 - 1 = 0

2x² - x - 3/4 = 0

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

8x² - 4x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac

D = (-4)² - 4 * 8 * (-3) = 16 + 96 = 112

Теперь найдем корни уравнения:

x = (4 ± √112) / (2 * 8)

x = (4 ± 4√7) / 16

x = 1/4 ± √7/4

Теперь, чтобы найти произведение xy, воспользуемся формулой:

xy = (x + y)²/4 - (x² + y²)/2

Подставим известные значения:

xy = (1/2)²/4 - 1/2

xy = 1/16 - 1/2 = 1/16 - 8/16 = -7/16

Таким образом, произведение синуса и косинуса угла альфа равно:

xy = -7/16