Как можно построить график функции y = x³ - 3x?

Алгебра 10 класс Построение графиков функций график функции построение графика алгебра 10 класс y = x³ - 3x анализ функции кубическая функция Новый

Чтобы построить график функции y = x³ - 3x, необходимо следовать нескольким шагам. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти корни функции

Для начала найдем корни уравнения y = 0:

• x³ - 3x = 0
• Вынесем x за скобки: x(x² - 3) = 0
• Таким образом, у нас есть два уравнения: x = 0 и x² - 3 = 0.
• Решим второе уравнение: x² = 3, откуда x = ±√3.

Итак, корни функции: x = 0, x = √3, x = -√3.

Шаг 2: Исследовать поведение функции

Теперь давайте исследуем, как ведет себя функция на промежутках между корнями:

• Для x < -√3, например, x = -2: y = (-2)³ - 3(-2) = -8 + 6 = -2 (функция отрицательна).
• Для -√3 < x < 0, например, x = -1: y = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2 (функция положительна).
• Для 0 < x < √3, например, x = 1: y = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2 (функция отрицательна).
• Для x > √3, например, x = 2: y = 2³ - 3(2) = 8 - 6 = 2 (функция положительна).

Таким образом, мы видим, что функция меняет знак в точках корней.

Шаг 3: Найти точки максимума и минимума

Чтобы найти экстремумы, найдем производную функции:

• y' = 3x² - 3.
• Приравняем производную к нулю: 3x² - 3 = 0.
• Решаем: x² = 1, откуда x = ±1.

Теперь подставим найденные значения в исходную функцию:

• Для x = 1: y(1) = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2.
• Для x = -1: y(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2.

Таким образом, у нас есть точки экстремума: (-1, 2) - максимум и (1, -2) - минимум.

Шаг 4: Построение графика

Теперь, когда у нас есть все необходимые точки, можем построить график:

• Отметьте корни функции: (0, 0), (√3, 0), (-√3, 0).
• Отметьте точки экстремума: (-1, 2) и (1, -2).
• Проведите плавную кривую, соединяющую эти точки, учитывая, что функция является кубической и будет стремиться к бесконечности, когда x стремится к бесконечности или минус бесконечности.

В результате у вас получится график функции y = x³ - 3x, который будет иметь характерную форму, проходя через указанные точки.