Как можно решить неравенство 3 в степени (1/x) больше 1/9?

Алгебра 10 класс Неравенства с показательной функцией неравенство алгебра 10 класс решение неравенств 3 в степени 1/x больше 1/9 математический анализ Новый

Чтобы решить неравенство 3 в степени (1/x) больше 1/9, начнем с преобразования выражения. Сначала заметим, что 1/9 можно представить как 3 в степени -2, так как 3^(-2) = 1/9. Таким образом, наше неравенство можно переписать в следующем виде:

3^(1/x) > 3^(-2)

Теперь, поскольку основание (3) больше 1, мы можем сравнить показатели степеней. Если основание больше 1, то неравенство сохраняет свой знак. Это значит, что:

1/x > -2

Теперь нам нужно решить это неравенство. Начнем с того, что умножим обе стороны на x. Однако, нужно помнить, что знак неравенства изменится, если x отрицательно. Поэтому мы рассмотрим два случая: x положительное и x отрицательное.

1. Случай 1: x > 0
• Умножаем обе стороны на x:
• 1 > -2x
• Теперь делим обе стороны на -2, что изменяет знак неравенства:
• x > -1/2
• Так как x положительное, то x > 0 является более строгим условием.
2. Случай 2: x < 0
• Умножаем обе стороны на x:
• 1 < -2x
• Делим обе стороны на -2, что опять меняет знак неравенства:
• x < -1/2
• Так как x отрицательное, это условие также удовлетворяет нашему случаю.

Теперь объединим результаты из обоих случаев:

Ответ: x > 0 или x < -1/2.

Таким образом, решение неравенства 3^(1/x) > 1/9 состоит из двух интервалов:

(-∞, -1/2) U (0, +∞)