Как можно решить неравенство: 4x² - 17x - 15 < 0?

Алгебра 10 класс Неравенства второй степени решение неравенства алгебра 10 класс 4x² - 17x - 15 < 0 методы решения неравенств неравенства в алгебре

Чтобы решить неравенство 4x² - 17x - 15 < 0, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберём их по порядку.

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения

Сначала нам нужно решить соответствующее квадратное уравнение:

4x² - 17x - 15 = 0.

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 4, b = -17, c = -15.

Подставляем значения:

• D = (-17)² - 4 * 4 * (-15) = 289 + 240 = 529.

Шаг 2: Найдем корни уравнения

Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни уравнения:

• x₁ = ( -b + √D ) / (2a) = (17 + √529) / (2 * 4) = (17 + 23) / 8 = 40 / 8 = 5.
• x₂ = ( -b - √D ) / (2a) = (17 - √529) / (2 * 4) = (17 - 23) / 8 = -6 / 8 = -3/4.

Шаг 3: Определим интервалы

Теперь у нас есть корни x₁ = 5 и x₂ = -3/4. Эти корни делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -3/4)
• (-3/4, 5)
• (5, +∞)

Шаг 4: Проверим знаки на каждом интервале

Теперь нам нужно определить, где функция 4x² - 17x - 15 принимает отрицательные значения. Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -3/4) возьмем x = -1:
• 4(-1)² - 17(-1) - 15 = 4 + 17 - 15 = 6 (положительное).
• Для интервала (-3/4, 5) возьмем x = 0:
• 4(0)² - 17(0) - 15 = -15 (отрицательное).
• Для интервала (5, +∞) возьмем x = 6:
• 4(6)² - 17(6) - 15 = 144 - 102 - 15 = 27 (положительное).

Шаг 5: Запишем решение неравенства

Таким образом, функция 4x² - 17x - 15 < 0 на интервале (-3/4, 5).

Ответ: x ∈ (-3/4, 5).

Чтобы решить неравенство 4x² - 17x - 15 < 0, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс подробно.

Шаг 1: Найти корни соответствующего уравнения

Сначала нам нужно решить квадратное уравнение 4x² - 17x - 15 = 0. Для этого мы можем использовать дискриминант.

• Коэффициенты: a = 4, b = -17, c = -15.
• Вычислим дискриминант по формуле: D = b² - 4ac.
• Подставляем значения: D = (-17)² - 4 * 4 * (-15) = 289 + 240 = 529.

Так как дискриминант положителен (D > 0), у уравнения есть два различных корня.

Шаг 2: Найти корни уравнения

Корни можно найти по формуле: x1,2 = (-b ± √D) / (2a).

• Первый корень: x1 = (17 + √529) / (2 * 4) = (17 + 23) / 8 = 40 / 8 = 5.
• Второй корень: x2 = (17 - √529) / (2 * 4) = (17 - 23) / 8 = -6 / 8 = -0.75.

Шаг 3: Определить промежутки

Теперь, когда мы знаем корни x1 = 5 и x2 = -0.75, мы можем разбить числовую ось на три промежутка:

• (-∞, -0.75)
• (-0.75, 5)
• (5, +∞)

Шаг 4: Проверить знаки в каждом промежутке

Теперь мы проверим знак выражения 4x² - 17x - 15 в каждом из этих промежутков. Для этого подберем тестовые значения:

• Для промежутка (-∞, -0.75): возьмем x = -1. Подставляем: 4(-1)² - 17(-1) - 15 = 4 + 17 - 15 = 6 (положительно).
• Для промежутка (-0.75, 5): возьмем x = 0. Подставляем: 4(0)² - 17(0) - 15 = -15 (отрицательно).
• Для промежутка (5, +∞): возьмем x = 6. Подставляем: 4(6)² - 17(6) - 15 = 144 - 102 - 15 = 27 (положительно).

Шаг 5: Записать ответ

Теперь мы знаем, что:

• В промежутке (-∞, -0.75) выражение положительное.
• В промежутке (-0.75, 5) выражение отрицательное.
• В промежутке (5, +∞) выражение положительное.

Так как мы ищем, где выражение меньше нуля, то ответ будет:

x ∈ (-0.75, 5)

Таким образом, неравенство 4x² - 17x - 15 < 0 выполняется для значений x в промежутке от -0.75 до 5.