Для решения логарифмического уравнения lg(x^2 - 2x) = lg30 - 1, давайте сначала упростим правую часть уравнения. Мы знаем, что 1 можно представить как lg10. Таким образом, уравнение можно записать следующим образом:

lg(x^2 - 2x) = lg30 - lg10.

Теперь, используя свойство логарифмов, что lg(a) - lg(b) = lg(a/b), мы можем переписать правую часть:

lg(x^2 - 2x) = lg(30/10).

Это упрощается до:

lg(x^2 - 2x) = lg3.

Теперь, если логарифмы равны, то их аргументы также равны (при условии, что они положительны). Поэтому мы можем записать:

x^2 - 2x = 3.

Теперь это уравнение можно привести к стандартному виду, переместив все члены в одну сторону:

x^2 - 2x - 3 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

ax^2 + bx + c = 0, где:

• a = 1,
• b = -2,
• c = -3.

Корни уравнения находятся по формуле:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

Подставим наши значения:

• b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

Теперь подставим это в формулу для нахождения корней:

x = (2 ± √16) / 2.

Так как √16 = 4, у нас есть два корня:

• x1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3,
• x2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1.

Теперь у нас есть два возможных решения: x = 3 и x = -1. Однако, нам нужно проверить, подходят ли они под условие логарифма, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Для x = 3:

x^2 - 2x = 3^2 - 2*3 = 9 - 6 = 3 (положительно, подходит).

Для x = -1:

x^2 - 2x = (-1)^2 - 2*(-1) = 1 + 2 = 3 (положительно, подходит).

Таким образом, оба корня являются допустимыми решениями уравнения.

Ответ: x = 3 и x = -1.