Решите уравнение log4(x+1) - 1 = log4(3x+7) - log4(x+13).

Алгебра 10 класс Логарифмические уравнения уравнение логарифмы алгебра решение уравнения x log4 алгебра 10 класс Новый

Давайте решим уравнение log4(x+1) - 1 = log4(3x+7) - log4(x+13) шаг за шагом.

Первым делом упростим уравнение. Мы знаем, что логарифмы с одинаковым основанием можно складывать и вычитать. Используем это свойство:

• Сначала перенесем 1 на правую сторону уравнения. Напомним, что 1 = log4(4), так как 4 в степени 1 равно 4.

Теперь у нас получится:

log4(x+1) = log4(3x+7) - log4(x+13) + log4(4).

Теперь используем свойство логарифмов: разность логарифмов равна логарифму частного:

• log4(3x+7) - log4(x+13) = log4((3x+7)/(x+13)).

Таким образом, уравнение можно переписать так:

log4(x+1) = log4((3x+7)/(x+13)) + log4(4).

Теперь объединим логарифмы на правой стороне:

log4(x+1) = log4(4 * (3x+7)/(x+13)).

Так как логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы:

x + 1 = 4 * (3x + 7) / (x + 13).

Теперь умножим обе стороны на (x + 13) для устранения дроби:

(x + 1)(x + 13) = 4(3x + 7).

Раскроем скобки:

• Слева: x^2 + 13x + x + 13 = x^2 + 14x + 13.
• Справа: 12x + 28.

Теперь у нас есть уравнение:

x^2 + 14x + 13 = 12x + 28.

Переносим все на одну сторону уравнения:

x^2 + 14x - 12x + 13 - 28 = 0.

Упростим:

x^2 + 2x - 15 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 2, c = -15.
• D = 2^2 - 4*1*(-15) = 4 + 60 = 64.

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-2 + 8) / 2 = 3.
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-2 - 8) / 2 = -5.

Теперь проверим, какие из этих корней подходят для исходного логарифмического уравнения. Логарифм определен только для положительных аргументов:

• Для x1 = 3: x + 1 = 4, 3x + 7 = 16, x + 13 = 16. Все аргументы положительные.
• Для x2 = -5: x + 1 = -4 (не подходит, так как логарифм не определен для отрицательных чисел).

Таким образом, единственным решением уравнения является:

x = 3.