Как решить неравенство log3(x^2-2x)>1?

Алгебра 10 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифмы алгебра 10 класс решение log3 x^2-2x математические неравенства методы решения неравенств логарифмическое неравенство Новый

Решим неравенство log3(x^2-2x)>1.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для нашего логарифмического выражения. Поскольку аргумент логарифма должен быть положительным, мы должны решить неравенство:

x^2 - 2x > 0.

Это неравенство можно разложить на множители:

x(x - 2) > 0.

Теперь мы можем найти нули этого выражения, которые равны 0 при x = 0 и x = 2. На числовой оси у нас получится три интервала:

• (-бесконечность; 0)
• (0; 2)
• (2; +бесконечность)

Теперь проверим знак выражения на каждом из этих интервалов:

• Выберем точку из интервала (-бесконечность; 0), например, x = -1: (-1)(-1 - 2) = 3 > 0 (знак положительный).
• Выберем точку из интервала (0; 2), например, x = 1: (1)(1 - 2) = -1 < 0 (знак отрицательный).
• Выберем точку из интервала (2; +бесконечность), например, x = 3: (3)(3 - 2) = 3 > 0 (знак положительный).

Таким образом, неравенство x(x - 2) > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность; 0) и (2; +бесконечность). Это и есть наша область допустимых значений (ОДЗ): x принадлежит (-бесконечность; 0) U (2; +бесконечность).

Теперь перейдем к решению основного неравенства:

log3(x^2 - 2x) > 1.

Мы можем переписать это неравенство в экспоненциальной форме:

x^2 - 2x > 3.

Переносим 3 в левую часть:

x^2 - 2x - 3 > 0.

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители, решив соответствующее уравнение:

x^2 - 2x - 3 = 0.

Для этого найдем дискриминант:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

Теперь найдем корни уравнения:

1. x1 = (2 - 4) / 2 = -1
2. x2 = (2 + 4) / 2 = 3

Таким образом, разложение на множители будет выглядеть так:

(x + 1)(x - 3) > 0.

Теперь снова используем метод интервалов. У нас есть нули: x = -1 и x = 3, и мы проверим знаки на интервалах:

• (-бесконечность; -1)
• (-1; 3)
• (3; +бесконечность)

Проверяем знаки:

• Для интервала (-бесконечность; -1), например, x = -2: (-2 + 1)(-2 - 3) = (-)(-) > 0 (положительный).
• Для интервала (-1; 3), например, x = 0: (0 + 1)(0 - 3) = (+)(-) < 0 (отрицательный).
• Для интервала (3; +бесконечность), например, x = 4: (4 + 1)(4 - 3) = (+)(+) > 0 (положительный).

Таким образом, неравенство (x + 1)(x - 3) > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность; -1) и (3; +бесконечность).

Теперь нам нужно учесть область допустимых значений (ОДЗ), чтобы определить окончательное решение. ОДЗ была (-бесконечность; 0) U (2; +бесконечность). Мы пересекаем два решения:

• (-бесконечность; -1) пересекается с ОДЗ, дает (-бесконечность; -1)
• (3; +бесконечность) пересекается с ОДЗ, дает (3; +бесконечность)

Таким образом, окончательное решение неравенства log3(x^2 - 2x) > 1 будет:

x принадлежит (-бесконечность; -1) U (3; +бесконечность).