Для решения уравнения X^2 + Y^2 - 8X + 12Y + 52 = 0 мы можем воспользоваться методом выделения полного квадрата. Давайте разберем это уравнение шаг за шагом.

1. Перепишем уравнение:

   X^2 - 8X + Y^2 + 12Y + 52 = 0

2. Выделим полный квадрат для X:
   • Мы имеем X^2 - 8X. Чтобы выделить полный квадрат, нужно взять половину коэффициента при X (то есть -8),возвести в квадрат и добавить/вычесть это значение.
   • Половина от -8 равна -4, а (-4)^2 = 16.
   • Таким образом, X^2 - 8X = (X - 4)^2 - 16.
3. Выделим полный квадрат для Y:
   • Теперь рассмотрим Y^2 + 12Y. Здесь мы также берем половину коэффициента при Y (то есть 12),возводим в квадрат и добавляем/вычитаем это значение.
   • Половина от 12 равна 6, а 6^2 = 36.
   • Таким образом, Y^2 + 12Y = (Y + 6)^2 - 36.
4. Подставим выделенные квадраты обратно в уравнение:

   (X - 4)^2 - 16 + (Y + 6)^2 - 36 + 52 = 0.

5. Упростим уравнение:
   • Сложим константы: -16 - 36 + 52 = 0.
   • Таким образом, уравнение принимает вид: (X - 4)^2 + (Y + 6)^2 = 0.
6. Решим уравнение:

   Сумма квадратов равна нулю только в случае, если каждый из квадратов равен нулю. Это дает нам систему уравнений:

   • X - 4 = 0 → X = 4
   • Y + 6 = 0 → Y = -6

Ответ: Уравнение имеет единственное решение: X = 4 и Y = -6.