Как решить уравнение Tg x = ctg x?

Алгебра 10 класс Тригонометрические функции решение уравнения Tg x = ctg x алгебра Тригонометрия уравнения математика Новый

Чтобы решить уравнение Tg x = ctg x, давайте сначала вспомним, что такое тангенс и котангенс. Тангенс (Tg) угла x равен отношению синуса к косинусу:

Tg x = sin x / cos x

Котангенс (ctg) угла x, в свою очередь, равен отношению косинуса к синусу:

ctg x = cos x / sin x

Теперь подставим эти определения в наше уравнение:

sin x / cos x = cos x / sin x

Теперь, чтобы избавиться от дробей, мы можем перемножить обе стороны уравнения на sin x * cos x (при условии, что sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0, чтобы избежать деления на ноль):

1. Умножаем обе стороны на sin x * cos x:
2. Получаем: sin^2 x = cos^2 x

Теперь мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

sin^2 x + cos^2 x = 1

Из уравнения sin^2 x = cos^2 x мы можем выразить sin^2 x через cos^2 x:

sin^2 x = cos^2 x = 1/2

Теперь, используя это равенство, мы можем найти значения угла x:

sin^2 x = 1/2 и cos^2 x = 1/2

Это означает, что:

sin x = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2

И аналогично для косинуса:

cos x = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2

Теперь мы можем найти углы, для которых sin x = √2/2 и sin x = -√2/2:

• Для sin x = √2/2: x = 45° + k * 180° (где k - целое число)
• Для sin x = -√2/2: x = 225° + k * 180° (где k - целое число)

Таким образом, обобщая, мы получаем два семейства решений:

• x = 45° + k * 180°
• x = 225° + k * 180°

Где k - любое целое число. Это и есть общее решение уравнения Tg x = ctg x.