Какое число элементов в арифметической прогрессии, если первый член равен 6, десятый член равен 33, а сумма всех членов составляет 405?

Алгебра 10 класс Арифметическая прогрессия число элементов арифметическая прогрессия первый член десятый член сумма членов алгебра 10 класс Новый

Чтобы найти количество элементов в арифметической прогрессии, давайте сначала вспомним, что арифметическая прогрессия определяется первым членом, последующим членом и разностью между ними.

Дано:

• Первый член (a1) = 6
• Десятый член (a10) = 33
• Сумма всех членов (S) = 405

Сначала найдем разность прогрессии (d). Мы знаем, что n-ый член арифметической прогрессии можно выразить как:

a_n = a1 + (n - 1) * d

В нашем случае для десятого члена:

a10 = a1 + (10 - 1) * d

Подставим известные значения:

33 = 6 + 9d

Теперь решим это уравнение для d:

33 - 6 = 9d

27 = 9d

d = 27 / 9 = 3

Теперь мы знаем, что разность (d) равна 3. Теперь мы можем выразить n-ый член:

a_n = 6 + (n - 1) * 3

Теперь давайте найдем количество членов (n) в прогрессии, используя формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = n/2 * (a1 + a_n)

Сначала мы найдем a_n:

a_n = 6 + (n - 1) * 3

Теперь подставим a_n в формулу для суммы:

405 = n/2 * (6 + (6 + (n - 1) * 3))

Упростим это уравнение:

405 = n/2 * (6 + 6 + (n - 1) * 3)

405 = n/2 * (12 + (n - 1) * 3)

405 = n/2 * (12 + 3n - 3)

405 = n/2 * (3n + 9)

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

810 = n * (3n + 9)

810 = 3n^2 + 9n

Теперь приведем уравнение к стандартному виду:

3n^2 + 9n - 810 = 0

Разделим все на 3:

n^2 + 3n - 270 = 0

Теперь мы можем использовать дискриминант для решения этого квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-270) = 9 + 1080 = 1089

Теперь найдем корни уравнения:

n = (-b ± √D) / (2a) = (-3 ± √1089) / 2

Корень из 1089 равен 33:

n = (-3 ± 33) / 2

Теперь найдем два возможных значения для n:

1. n1 = (30) / 2 = 15
2. n2 = (-36) / 2 = -18 (не подходит, так как количество членов не может быть отрицательным)

Таким образом, количество элементов в данной арифметической прогрессии равно 15.