Ребята, подскажите, как решить неравенство: log(x) по основанию 3 больше или равно log(x) по основанию 7?

Алгебра 10 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифм решение неравенства log(x) основание 3 основание 7 алгебра 10 класс Новый

Для решения неравенства log₃(x) ≥ log₇(x) нужно использовать свойства логарифмов и несколько шагов. Давайте разберем это подробно.

1. Перепишем неравенство:

   Сначала мы можем выразить оба логарифма через один и тот же основание. Например, давайте используем натуральный логарифм (ln):

   log₃(x) = ln(x) / ln(3) и log₇(x) = ln(x) / ln(7).

   Таким образом, неравенство можно переписать так:

   ln(x) / ln(3) ≥ ln(x) / ln(7).

2. Умножим обе стороны на ln(3) * ln(7):

   Так как ln(3) и ln(7) положительные числа, мы можем умножить обе стороны неравенства на их произведение, не меняя знак неравенства:

   ln(x) * ln(7) ≥ ln(x) * ln(3).

   Теперь можно упростить неравенство:

   ln(x) * ln(7) - ln(x) * ln(3) ≥ 0.

   Это можно записать как:

   ln(x) * (ln(7) - ln(3)) ≥ 0.

3. Решим неравенство:

   Теперь нужно рассмотреть два случая:

   • Случай 1: ln(7) - ln(3) > 0. Это верно, так как 7 > 3. Следовательно, неравенство ln(x) ≥ 0.
   • Случай 2: ln(7) - ln(3) < 0. Это не применимо, так как мы уже установили, что ln(7) > ln(3).

   Таким образом, мы имеем неравенство ln(x) ≥ 0, что эквивалентно x ≥ 1.

4. Учитываем область определения:

   Логарифм определен только для положительных значений, поэтому x должно быть больше 0. Но так как x ≥ 1, это условие уже выполняется.

Ответ: Неравенство log₃(x) ≥ log₇(x) выполняется при x ≥ 1.