Решите, пожалуйста, неравенства: log2(x-4) > 1 и log1/3(5 - x) < 2.

Алгебра 10 класс Неравенства с логарифмами алгебра 10 класс неравенства логарифмы решение неравенств log2 log1/3 математические задачи Новый

Давайте решим каждое из неравенств по отдельности.

Первое неравенство: log2(x-4) > 1

Чтобы решить это неравенство, начнем с того, что преобразуем логарифм в экспоненциальную форму. Мы знаем, что если log2(a) = b, то a = 2^b. В нашем случае:

• log2(x-4) > 1

Это означает:

• x - 4 > 2^1

Теперь вычислим 2^1:

• 2^1 = 2

Следовательно, мы получаем:

• x - 4 > 2

Теперь добавим 4 к обеим сторонам неравенства:

• x > 2 + 4

Таким образом, мы получаем:

• x > 6

Однако, не забываем, что логарифм определен только для положительных аргументов. Поэтому:

• x - 4 > 0
• x > 4

Таким образом, первое неравенство дает нам условие:

• x > 6

Это условие уже удовлетворяет и ограничению x > 4.

Второе неравенство: log1/3(5 - x) < 2

Здесь также преобразуем логарифм в экспоненциальную форму. Мы знаем, что если loga(b) = c, то b = a^c. В нашем случае:

• log1/3(5 - x) < 2

Это означает:

• 5 - x < (1/3)^2

Теперь вычислим (1/3)^2:

• (1/3)^2 = 1/9

Следовательно, мы получаем:

• 5 - x < 1/9

Теперь добавим x к обеим сторонам и вычтем 1/9:

• 5 - 1/9 < x

Чтобы выполнить вычитание, найдем общее дробное значение для 5:

• 5 = 45/9

Теперь у нас есть:

• 45/9 - 1/9 < x

Это упрощается до:

• 44/9 < x

Теперь у нас есть два условия:

• x > 6
• x > 44/9

Так как 6 = 54/9, то 6 > 44/9. Таким образом, окончательное решение системы неравенств:

Ответ:

• x > 6