Давайте начнем с определения арифметической прогрессии. Пусть первый член прогрессии равен a, а разность прогрессии равна d.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Теперь у нас есть две информации о суммах:

• Сумма трех первых членов равна 30:

S_3 = 3/2 * (2a + 2d) = 30

Упростим это уравнение:

3(a + d) = 30

Таким образом, мы получаем:

a + d = 10

• Сумма пяти первых членов равна 75:

S_5 = 5/2 * (2a + 4d) = 75

Упростим это уравнение:

5(a + 2d) = 75

Таким образом, мы получаем:

a + 2d = 15

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a + d = 10
2. a + 2d = 15

Решим эту систему. Выразим a из первого уравнения:

a = 10 - d

Подставим это выражение во второе уравнение:

(10 - d) + 2d = 15

Упростим:

10 + d = 15

Следовательно:

d = 5

Теперь подставим значение d в первое уравнение, чтобы найти a:

a + 5 = 10

Следовательно:

a = 5

Теперь у нас есть первый член a = 5 и разность d = 5. Теперь мы можем найти сумму первых n членов, которая равна 105:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d) = 105

Подставим значения a и d:

S_n = n/2 * (2*5 + (n - 1)*5) = 105

Упростим:

S_n = n/2 * (10 + 5n - 5) = 105

S_n = n/2 * (5n + 5) = 105

S_n = (5n^2 + 5n)/2 = 105

Умножим обе стороны на 2:

5n^2 + 5n = 210

Разделим на 5:

n^2 + n - 42 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-42) = 1 + 168 = 169

Теперь найдем корни:

n = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± 13) / 2

Это дает два значения:

• n = (12)/2 = 6
• n = (-14)/2 = -7 (не подходит, т.к. количество членов не может быть отрицательным)

Таким образом, сумма первых 6 членов арифметической прогрессии равна 105.