Похожие вопросы
2025-08-26 21:03:19
В арифметической прогрессии {a_n}:
a_4 - a_5 = 6, a_2 + a_4 = 72, S_n = 180.
Какое значение имеет n?
A) 15
B) 7
C) 5
D) 3
E) 10
Алгебра 10 класс Арифметическая прогрессия алгебра 10 класс арифметическая прогрессия задачи на прогрессии значение N S_n a_4 a_5 a_2 решение задач математические задачи школьная математика Новый
2025-08-26 21:03:31
Для решения задачи о нахождении значения n в арифметической прогрессии, давайте вспомним основные свойства арифметической прогрессии.
Обозначим первый член прогрессии как a и разность прогрессии как d. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:
- a_1 = a
- a_2 = a + d
- a_4 = a + 3d
- a_5 = a + 4d
Теперь мы можем использовать данные условия для составления уравнений.
- Из первого условия: a_4 - a_5 = 6.
- (a + 3d) - (a + 4d) = 6
- 3d - 4d = 6
- -d = 6
- d = -6.
- Из второго условия: a_2 + a_4 = 72.
- (a + d) + (a + 3d) = 72
- 2a + 4d = 72.
- 2a + 4(-6) = 72.
- 2a - 24 = 72.
- 2a = 72 + 24.
- 2a = 96.
- a = 48.
- Теперь мы знаем a и d: a = 48, d = -6. Далее, нам нужно найти n, используя сумму первых n членов S_n = 180.
- 180 = (n/2) * (2 * 48 + (n - 1)(-6)).
- 180 = (n/2) * (96 - 6n + 6).
- 180 = (n/2) * (102 - 6n).
Подставим значения:
Подставим значения:
Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
S_n = (n/2) * (2a + (n - 1)d).Подставим известные значения:
Теперь умножим обе стороны на 2 для удобства:
- 360 = n * (102 - 6n).
Раскроем скобки:
- 360 = 102n - 6n^2.
Перепишем уравнение в стандартной форме:
- 6n^2 - 102n + 360 = 0.
Теперь упростим это уравнение, разделив его на 6:
- n^2 - 17n + 60 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
- D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 * 1 * 60 = 289 - 240 = 49.
Теперь найдем корни уравнения:
- n = (17 ± √49) / 2 = (17 ± 7) / 2.
- n1 = (24) / 2 = 12.
- n2 = (10) / 2 = 5.
Таким образом, возможные значения n: 12 и 5. Из предложенных вариантов подходит только n = 5.
Ответ: n = 5 (вариант C).
