Для решения задачи начнем с определения общих свойств арифметической прогрессии (АП). В АП каждый следующий член получается путем добавления постоянной разности к предыдущему члену. Обозначим первый член прогрессии как a, а разность прогрессии как d.

По условиям задачи, у нас есть:

• Восьмой член прогрессии: a + 7d = 2
• Одиннадцатый член прогрессии: a + 10d = 11

Теперь мы можем записать систему уравнений:

1. a + 7d = 2 (1)
2. a + 10d = 11 (2)

Теперь вычтем (1) из (2):

(a + 10d) - (a + 7d) = 11 - 2

Это упростится до:

3d = 9

Отсюда находим d:

d = 9 / 3 = 3

Теперь, подставим значение d в одно из уравнений, например, в (1):

a + 7 * 3 = 2

a + 21 = 2

a = 2 - 21 = -19

Теперь у нас есть первый член прогрессии a = -19 и разность d = 3.

Теперь найдем сумму первых n членов арифметической прогрессии. Сумма первых n членов S_n вычисляется по формуле:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Мы знаем, что S_n = 30, a = -19, и d = 3. Подставим эти значения в формулу:

30 = n/2 * (2 * (-19) + (n - 1) * 3)

Упростим уравнение:

30 = n/2 * (-38 + 3n - 3)

30 = n/2 * (3n - 41)

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

60 = n * (3n - 41)

60 = 3n^2 - 41n

Переносим все в одну сторону:

3n^2 - 41n - 60 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 * 3 * (-60)

D = 1681 + 720 = 2401

Теперь найдем n:

n = (41 ± √2401) / (2 * 3)

√2401 = 49, поэтому:

n = (41 ± 49) / 6

Теперь найдем два возможных значения n:

• n1 = (41 + 49) / 6 = 90 / 6 = 15
• n2 = (41 - 49) / 6 = -8 / 6 = -4/3 (отрицательное значение не подходит)

Таким образом, нам нужно взять 15 первых членов арифметической прогрессии, чтобы их сумма составила 30.