В восьмом члене арифметической прогрессии значение равно 2, а в одиннадцатом - 11. Сколько первых членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма составила 30?

Алгебра 10 класс Арифметическая прогрессия алгебра арифметическая прогрессия сумма членов 10 класс математические задачи Новый

Для решения задачи начнем с определения общих свойств арифметической прогрессии (АП). В АП каждый следующий член получается путем добавления постоянной разности к предыдущему члену. Обозначим первый член прогрессии как a, а разность прогрессии как d.

По условиям задачи, у нас есть:

• Восьмой член прогрессии: a + 7d = 2
• Одиннадцатый член прогрессии: a + 10d = 11

Теперь мы можем записать систему уравнений:

1. a + 7d = 2 (1)
2. a + 10d = 11 (2)

Теперь вычтем (1) из (2):

(a + 10d) - (a + 7d) = 11 - 2

Это упростится до:

3d = 9

Отсюда находим d:

d = 9 / 3 = 3

Теперь, подставим значение d в одно из уравнений, например, в (1):

a + 7 * 3 = 2

a + 21 = 2

a = 2 - 21 = -19

Теперь у нас есть первый член прогрессии a = -19 и разность d = 3.

Теперь найдем сумму первых n членов арифметической прогрессии. Сумма первых n членов S_n вычисляется по формуле:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Мы знаем, что S_n = 30, a = -19, и d = 3. Подставим эти значения в формулу:

30 = n/2 * (2 * (-19) + (n - 1) * 3)

Упростим уравнение:

30 = n/2 * (-38 + 3n - 3)

30 = n/2 * (3n - 41)

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

60 = n * (3n - 41)

60 = 3n^2 - 41n

Переносим все в одну сторону:

3n^2 - 41n - 60 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 * 3 * (-60)

D = 1681 + 720 = 2401

Теперь найдем n:

n = (41 ± √2401) / (2 * 3)

√2401 = 49, поэтому:

n = (41 ± 49) / 6

Теперь найдем два возможных значения n:

• n1 = (41 + 49) / 6 = 90 / 6 = 15
• n2 = (41 - 49) / 6 = -8 / 6 = -4/3 (отрицательное значение не подходит)

Таким образом, нам нужно взять 15 первых членов арифметической прогрессии, чтобы их сумма составила 30.