Давайте разберем решение тригонометрического уравнения 4cos³x - (sin(x) + cos(x)) = 0 по шагам.

1. Перепишем уравнение: Упростим уравнение, выразив его в более удобной форме. Мы можем записать его как:

4cos³x = sin(x) + cos(x)

2. Используем тригонометрическую идентичность: Напомним, что sin(x) = √(1 - cos²x). Подставим это в уравнение:

4cos³x = √(1 - cos²x) + cos(x)

3. Квадратируем обе стороны: Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(4cos³x)² = (√(1 - cos²x) + cos(x))²

4. Решаем полученное уравнение: Раскроем скобки и упростим уравнение. Это может привести к более сложному многочлену от cos(x).
5. Находим корни: После упрощения и приведения к стандартному виду, мы можем использовать методы нахождения корней многочлена. Это может быть разложение на множители или использование формулы для нахождения корней.

Теперь перейдем ко второму вопросу о том, как определить сумму корней на промежутке [ -π; 3π ].

1. Найдем все корни уравнения: После решения уравнения мы получим корни, которые могут быть в виде x = kπ + α, где k - целое число, а α - фиксированный корень.
2. Определим значение k: Для нахождения всех корней на заданном промежутке [ -π; 3π ] подставим различные значения k. Например, k = -1, 0, 1, 2, 3.
3. Суммируем корни: После нахождения всех корней, которые попадают в заданный промежуток, мы можем их просто сложить.

Таким образом, мы можем найти сумму всех корней тригонометрического уравнения на указанном промежутке. Если у вас есть конкретные значения корней, я могу помочь с их суммированием.