Решите уравнение: корень из 3*sinX + cosX = корень из 2
Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс уравнение решение корень синус косинус тригонометрические функции математика школьная программа задачи на уравнения Новый
Для решения уравнения корень из 3*sinX + cosX = корень из 2 начнем с того, что упростим его.
1. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:
корень из 3*sinX + cosX - корень из 2 = 0
2. Теперь мы можем выразить cosX через sinX, используя тригонометрическую идентичность:
cosX = √(1 - sin²X).
3. Подставим это выражение в уравнение:
корень из 3*sinX + √(1 - sin²X) - корень из 2 = 0.
4. Теперь обозначим sinX как t (где t = sinX). У нас получится:
корень из 3*t + √(1 - t²) - корень из 2 = 0.
5. Переносим корень из 2 на другую сторону:
корень из 3*t + √(1 - t²) = корень из 2.
6. Теперь мы можем выразить √(1 - t²):
√(1 - t²) = корень из 2 - корень из 3*t.
7. Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
1 - t² = (корень из 2 - корень из 3*t)².
8. Раскроем скобки:
9. Приведем все к одной стороне:
0 = 2 - 2*корень из 6*t + 3*t² + t² - 1.
10. Упрощаем уравнение:
0 = 3*t² + t² - 2*корень из 6*t + 1.
0 = 4*t² - 2*корень из 6*t + 1.
11. Теперь мы можем решить это квадратное уравнение:
4*t² - 2*корень из 6*t + 1 = 0.
12. Используем формулу дискриминанта:
D = b² - 4ac = (-2*корень из 6)² - 4*4*1 = 24 - 16 = 8.
13. Находим корни уравнения:
t = (2*корень из 6 ± корень из 8) / (2*4).
t = (2*корень из 6 ± 2*корень из 2) / 8.
t = (корень из 6 ± корень из 2) / 4.
14. Теперь подставим найденные значения t обратно в sinX:
sinX = (корень из 6 ± корень из 2) / 4.
15. Теперь нужно найти значения X, для которых sinX принимает найденные значения. Учтите, что sinX должен находиться в диапазоне от -1 до 1.
16. Найдите соответствующие углы X, используя арксинус:
X = arcsin((корень из 6 + корень из 2) / 4) или X = arcsin((корень из 6 - корень из 2) / 4).
17. Не забудьте учесть периодичность функции синуса, добавив 2πk, где k - целое число.
Таким образом, мы получили решение уравнения. Проверяйте, чтобы значения синуса были в допустимом диапазоне, и находите соответствующие углы X.