Решите уравнение: корень из 3*sinX + cosX = корень из 2

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс уравнение решение корень синус косинус тригонометрические функции математика школьная программа задачи на уравнения Новый

Для решения уравнения корень из 3*sinX + cosX = корень из 2 начнем с того, что упростим его.

1. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

корень из 3*sinX + cosX - корень из 2 = 0

2. Теперь мы можем выразить cosX через sinX, используя тригонометрическую идентичность:

cosX = √(1 - sin²X).

3. Подставим это выражение в уравнение:

корень из 3*sinX + √(1 - sin²X) - корень из 2 = 0.

4. Теперь обозначим sinX как t (где t = sinX). У нас получится:

корень из 3*t + √(1 - t²) - корень из 2 = 0.

5. Переносим корень из 2 на другую сторону:

корень из 3*t + √(1 - t²) = корень из 2.

6. Теперь мы можем выразить √(1 - t²):

√(1 - t²) = корень из 2 - корень из 3*t.

7. Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

1 - t² = (корень из 2 - корень из 3*t)².

8. Раскроем скобки:

• (корень из 2)² - 2*корень из 2*корень из 3*t + (корень из 3*t)².
• 1 - t² = 2 - 2*корень из 6*t + 3*t².

9. Приведем все к одной стороне:

0 = 2 - 2*корень из 6*t + 3*t² + t² - 1.

10. Упрощаем уравнение:

0 = 3*t² + t² - 2*корень из 6*t + 1.

0 = 4*t² - 2*корень из 6*t + 1.

11. Теперь мы можем решить это квадратное уравнение:

4*t² - 2*корень из 6*t + 1 = 0.

12. Используем формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-2*корень из 6)² - 4*4*1 = 24 - 16 = 8.

13. Находим корни уравнения:

t = (2*корень из 6 ± корень из 8) / (2*4).

t = (2*корень из 6 ± 2*корень из 2) / 8.

t = (корень из 6 ± корень из 2) / 4.

14. Теперь подставим найденные значения t обратно в sinX:

sinX = (корень из 6 ± корень из 2) / 4.

15. Теперь нужно найти значения X, для которых sinX принимает найденные значения. Учтите, что sinX должен находиться в диапазоне от -1 до 1.

16. Найдите соответствующие углы X, используя арксинус:

X = arcsin((корень из 6 + корень из 2) / 4) или X = arcsin((корень из 6 - корень из 2) / 4).

17. Не забудьте учесть периодичность функции синуса, добавив 2πk, где k - целое число.

Таким образом, мы получили решение уравнения. Проверяйте, чтобы значения синуса были в допустимом диапазоне, и находите соответствующие углы X.