1) Какое максимальное значение имеет функция y=8x-8tgx-3 на интервале [0;π/4]?
2) Какое минимальное значение имеет функция y=21x-21tgx+37 на интервале [-π/4;0]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций максимальное значение функции минимальное значение функции алгебра 11 класс интервал [0;π/4] интервал [-π/4;0] функции с тангенсом Новый

Давайте решим обе задачи по очереди.

1) Максимальное значение функции y=8x-8tgx-3 на интервале [0;π/4]

Для нахождения максимального значения функции на заданном интервале, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

   Функция y = 8x - 8tg(x) - 3. Для нахождения производной используем правило дифференцирования: производная tg(x) равна sec²(x).

   Таким образом, производная y будет равна:

   y' = 8 - 8sec²(x).

2. Найти критические точки:

   Приравняем производную к нулю:

   8 - 8sec²(x) = 0.

   Это уравнение можно переписать как:

   sec²(x) = 1.

   Это равенство выполняется, когда x = 0.

3. Проверить значения функции на границах интервала и в критической точке:

   Теперь подставим найденные значения в исходную функцию:

   • y(0) = 8*0 - 8*tg(0) - 3 = -3.
   • y(π/4) = 8*(π/4) - 8*tg(π/4) - 3 = 8*(π/4) - 8*1 - 3 = 2π - 8 - 3 = 2π - 11.
4. Сравнить полученные значения:

   Теперь сравним значения:

   • y(0) = -3.
   • y(π/4) = 2π - 11. Приблизительно 2*3.14 - 11 = 6.28 - 11 = -4.72.

   Таким образом, максимальное значение функции на интервале [0; π/4] равно -3.

2) Минимальное значение функции y=21x-21tgx+37 на интервале [-π/4;0]

Теперь перейдем ко второй задаче. Мы будем следовать аналогичному алгоритму:

1. Найти производную функции:

   Функция y = 21x - 21tg(x) + 37. Найдем производную:

   y' = 21 - 21sec²(x).

2. Найти критические точки:

   Приравняем производную к нулю:

   21 - 21sec²(x) = 0.

   Это уравнение также можно записать как:

   sec²(x) = 1.

   Это равенство выполняется, когда x = 0.

3. Проверить значения функции на границах интервала и в критической точке:

   Теперь подставим найденные значения в исходную функцию:

   • y(-π/4) = 21*(-π/4) - 21*tg(-π/4) + 37 = -21*(π/4) + 21 + 37 = -21*(π/4) + 58.
   • y(0) = 21*0 - 21*tg(0) + 37 = 37.
4. Сравнить полученные значения:

   Теперь сравним значения:

   • y(-π/4) = -21*(π/4) + 58. Приблизительно -21*(0.785) + 58 = -16.5 + 58 = 41.5.
   • y(0) = 37.

   Минимальное значение функции на интервале [-π/4; 0] равно 37.

Ответы:

• Максимальное значение первой функции на интервале [0; π/4] равно -3.
• Минимальное значение второй функции на интервале [-π/4; 0] равно 37.