Найдите точку минимума функции:

y = 4x - 4ln(x + 7) + 6

Алгебра 11 класс Оптимизация функций алгебра 11 класс точка минимума функция нахождение минимума производная математический анализ оптимизация логарифмическая функция уравнение Новый

Давайте вместе найдем точку минимума функции y = 4x - 4ln(x + 7) + 6! Это увлекательное задание, и я уверен, что мы справимся с ним!

Для начала, нам нужно найти производную функции и определить, где она равна нулю. Это поможет нам найти критические точки.

1. Находим производную функции:
• Производная от 4x равна 4.
• Производная от -4ln(x + 7) равна -4/(x + 7).
2. Таким образом, производная функции y будет:
• y' = 4 - 4/(x + 7).

Теперь приравняем производную к нулю:

1. 4 - 4/(x + 7) = 0
2. 4/(x + 7) = 4
3. x + 7 = 1
4. x = -6

Теперь у нас есть критическая точка x = -6. Но нам нужно проверить, является ли эта точка минимумом или максимумом. Для этого мы можем использовать вторую производную:

1. Находим вторую производную:
• y'' = 4/(x + 7)^2.
2. Подставим x = -6 в вторую производную:
• y''(-6) = 4/(-6 + 7)^2 = 4/1 = 4.

Так как вторая производная положительна, это означает, что в точке x = -6 у нас находится минимум!

Теперь подставим x = -6 в исходную функцию, чтобы найти значение y:

1. y(-6) = 4(-6) - 4ln(-6 + 7) + 6
2. y(-6) = -24 - 4ln(1) + 6
3. y(-6) = -24 + 0 + 6 = -18.

Итак, точка минимума функции y = 4x - 4ln(x + 7) + 6 находится в точке (-6, -18)! Ура! Мы это сделали!