Какое наибольшее значение функции y = x + 9/x можно найти на отрезке [-4; -1]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций алгебра 11 класс наибольшее значение функция y = x + 9/x отрезок [-4; -1] математический анализ экстремумы функции исследование функции Новый

Для решения задачи найдем наибольшее значение функции y = x + 9/x на отрезке [-4; -1]. Начнем с того, что нам нужно найти производную этой функции, так как она поможет нам определить точки, в которых функция может принимать экстремальные значения.

1. Найдем производную функции.

Для функции y = x + 9/x, производная будет вычисляться следующим образом:

• Первая часть: производная x равна 1.
• Вторая часть: производная 9/x можно найти, используя правило производной дроби. Это будет -9/x^2.

Итак, производная функции y будет:

y' = 1 - 9/x^2.

2. Найдем нули производной.

Чтобы найти точки, где функция может иметь максимумы или минимумы, приравняем производную к нулю:

1 - 9/x^2 = 0.

Решим это уравнение:

• 9/x^2 = 1,
• x^2 = 9.

Таким образом, мы получаем два решения: x = 3 и x = -3. Однако, x = 3 не входит в наш заданный промежуток [-4; -1]. Поэтому мы будем работать только с x = -3.

3. Подставим найденные значения в функцию.

Теперь мы подставим значения границ отрезка и найденное значение x = -3 в исходную функцию, чтобы определить максимальное значение:

• y(-4) = -4 + 9/(-4) = -4 - 2.25 = -6.25,
• y(-3) = -3 + 9/(-3) = -3 - 3 = -6,
• y(-1) = -1 + 9/(-1) = -1 - 9 = -10.

4. Сравним результаты.

Теперь сравним найденные значения:

• y(-4) = -6.25,
• y(-3) = -6,
• y(-1) = -10.

Наибольшее значение среди всех полученных результатов -6, которое достигается при x = -3.

Ответ: Наибольшее значение функции y = x + 9/x на отрезке [-4; -1] равно -6.