Какое наименьшее значение имеет функция y = (x - 8) e^x - 7 на отрезке [6; 8]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций наименьшее значение функции функция y = (x - 8) e^x - 7 отрезок [6; 8] алгебра математический анализ экстремумы функций вычисление минимума график функции Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = (x - 8)e^x - 7 на отрезке [6; 8], нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

   Сначала найдем производную функции y по x. Используем правило произведения для нахождения производной:

   y' = (x - 8)e^x + e^x(1) = (x - 8 + 1)e^x = (x - 7)e^x.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. У нас производная определена для всех x, поэтому решим уравнение:

   (x - 7)e^x = 0.

   Поскольку e^x никогда не равно нулю, мы решаем уравнение x - 7 = 0, что дает x = 7.

3. Определить значения функции на концах отрезка и в критической точке.

   Теперь мы должны вычислить значение функции в точках 6, 7 и 8:

   • y(6) = (6 - 8)e^6 - 7 = -2e^6 - 7;
   • y(7) = (7 - 8)e^7 - 7 = -1e^7 - 7;
   • y(8) = (8 - 8)e^8 - 7 = 0 - 7 = -7.
4. Сравнить значения.

   Теперь сравним полученные значения:

   • y(6) = -2e^6 - 7;
   • y(7) = -e^7 - 7;
   • y(8) = -7.

   Значения y(6) и y(7) будут меньше -7, потому что e^6 и e^7 - положительные числа. Поэтому:

   • -2e^6 < -7;
   • -e^7 < -7.
5. Вывод.

   Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [6; 8] будет в точках 6 или 7. Поскольку оба значения меньше -7, мы можем сказать, что наименьшее значение функции на данном отрезке:

   y_min = min(-2e^6 - 7, -e^7 - 7, -7).

В итоге, наименьшее значение функции y на отрезке [6; 8] будет равно -e^7 - 7, так как это значение меньше, чем -7 и -2e^6 - 7.