Чтобы найти наибольшее значение функции y = (x + 15)² e^(-13 - x) на отрезке [-14; -12], следуем следующим шагам:

1. Определим границы отрезка: Нам нужно проверить значения функции на концах отрезка и в его внутренней части.
2. Подставим концы отрезка:
   • Для x = -14:
     • y = (-14 + 15)² e^(-13 - (-14)) = (1)² e^(1) = 1 * e ≈ 2.718.
   • Для x = -12:
     • y = (-12 + 15)² e^(-13 - (-12)) = (3)² e^(-1) = 9/e ≈ 3.307.
3. Найдем производную функции: Для нахождения критических точек найдем производную функции y и приравняем её к нулю.
4. Применим правило произведения:
   • y' = [(x + 15)²]' * e^(-13 - x) + (x + 15)² * [e^(-13 - x)]'
   • Производная (x + 15)² = 2(x + 15).
   • Производная e^(-13 - x) = -e^(-13 - x).
   • Таким образом, y' = 2(x + 15)e^(-13 - x) - (x + 15)² e^(-13 - x).
   • Факторизуем: y' = e^(-13 - x) [2(x + 15) - (x + 15)²].
   • Приравниваем к нулю: 2(x + 15) - (x + 15)² = 0.
   • Решаем уравнение: (x + 15)(- (x + 15) + 2) = 0.
   • Критические точки: x + 15 = 0 или - (x + 15) + 2 = 0, что дает x = -15 или x = -13.
5. Проверим критические точки: Проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
6. Для x = -15:
   • y = (-15 + 15)² e^(-13 - (-15)) = 0 * e^(2) = 0.
7. Для x = -13:
   • y = (-13 + 15)² e^(-13 - (-13)) = (2)² * e^(0) = 4.
8. Сравним все значения:
   • y(-14) ≈ 2.718;
   • y(-12) ≈ 3.307;
   • y(-15) = 0;
   • y(-13) = 4.

Наибольшее значение функции на отрезке [-14; -12] равно 4.