39. Решите уравнение: 9 в степени x + 6 в степени x = 2 умножить на 4 в степени x.

Начнем с того, что упростим уравнение. Мы можем выразить все степени через 3 и 2:

• 9 = 3^2, следовательно, 9 в степени x = (3^2)^x = 3^(2x).
• 6 = 2 * 3, следовательно, 6 в степени x = (2 * 3)^x = 2^x * 3^x.
• 4 = 2^2, следовательно, 4 в степени x = (2^2)^x = 2^(2x).

Теперь подставим это в уравнение:

3^(2x) + 2^x * 3^x = 2 * 2^(2x).

Теперь упростим правую часть:

2 * 2^(2x) = 2^(2x + 1).

Теперь у нас есть:

3^(2x) + 2^x * 3^x = 2^(2x + 1).

Далее, давайте попробуем подставить некоторые значения для x:

• Если x = 0: 3^(2*0) + 2^0 * 3^0 = 1 + 1 = 2 и 2^(2*0 + 1) = 2. Значит, x = 0 - решение.
• Если x = 1: 3^(2*1) + 2^1 * 3^1 = 9 + 6 = 15 и 2^(2*1 + 1) = 8. Не равно.
• Если x = 1/2: 3^(2*(1/2)) + 2^(1/2) * 3^(1/2) = 3 + sqrt(2) * sqrt(3) и 2^(2*(1/2) + 1) = 4. Не равно.

Таким образом, единственное найденное решение - это x = 0. Ответ: B) 0.

40. Решите уравнение: 9 в степени (x в квадрате + 1) + 3 в степени (x в квадрате + 1) = 28 делить на 81.

Сначала упростим правую часть:

28 / 81 = (28 / 27) * (1 / 3) = (28 / 27) * 3^(-1).

Теперь обозначим t = x^2 + 1. Уравнение примет вид:

9^t + 3^t = (28/27) * 3^(-1).

9^t = (3^2)^t = 3^(2t), следовательно:

3^(2t) + 3^t = (28/27) * 3^(-1).

Умножим обе стороны на 3:

3^(2t + 1) + 3^(t + 1) = 28/27.

Теперь подберем значения для t:

• t = 1: 3^(2*1 + 1) + 3^(1 + 1) = 27 + 9 = 36. Не равно.
• t = 0: 3^(2*0 + 1) + 3^(0 + 1) = 3 + 3 = 6. Не равно.

Таким образом, у уравнения нет решений, ответ: E) корней нет.

41. Сколько корней имеет уравнение: 5 в степени x + 7 в степени x = 12 в степени x?

Рассмотрим функцию f(x) = 5^x + 7^x - 12^x. Мы хотим найти количество корней уравнения f(x) = 0.

Обратите внимание, что:

• f(0) = 1 + 1 - 1 = 1 (положительное значение).
• f(1) = 5 + 7 - 12 = 0 (значение равно нулю).
• f(x) стремится к -∞, когда x стремится к +∞, так как 12^x будет расти быстрее, чем 5^x и 7^x.

Поскольку f(0) > 0 и f(1) = 0, а затем f(x) становится отрицательным, это указывает на то, что у уравнения есть ровно одно решение.

Ответ: A) 1.