Дам 35 баллов!!!

Прошу, помогите пожалуйста!

Как решить уравнение: sin² x + 3cos x sin x + 2cos²x=0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения sin² x cos x методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения sin² x + 3cos x sin x + 2cos² x = 0, начнем с преобразования выражения. Мы можем использовать тригонометрическую тождество, что sin² x + cos² x = 1, чтобы выразить одно из тригонометрических функций через другое. В данном случае, выразим sin² x через cos² x:

sin² x = 1 - cos² x.

Теперь подставим это в уравнение:

1 - cos² x + 3cos x sin x + 2cos² x = 0.

Теперь упростим уравнение:

• 1 + 3cos x sin x + (2 - 1)cos² x = 0;
• 1 + 3cos x sin x + cos² x = 0.

Теперь мы можем заменить sin x на √(1 - cos² x) и выразить уравнение только через cos x. Но это может усложнить задачу, поэтому мы попробуем другой подход, используя замену переменных.

Обозначим cos x как t. Тогда sin x = √(1 - t²), и уравнение примет вид:

sin² x + 3cos x sin x + 2cos² x = 0.

Теперь подставим sin x:

(1 - t²) + 3t√(1 - t²) + 2t² = 0.

Упростим это уравнение:

1 - t² + 3t√(1 - t²) + 2t² = 0,

1 + t² + 3t√(1 - t²) = 0.

Это уравнение может быть сложным для решения, поэтому давайте вернемся к исходному уравнению и попробуем решить его другим способом. Мы можем рассмотреть его как квадратное уравнение относительно sin x:

sin² x + 3cos x sin x + 2cos² x = 0.

Это уравнение можно переписать в виде:

sin² x + (3cos x)sin x + (2cos² x) = 0.

Теперь, используя формулу для корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, где a = 1, b = 3cos x, c = 2cos² x, найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (3cos x)² - 4(1)(2cos² x) = 9cos² x - 8cos² x = cos² x.

Теперь, чтобы уравнение имело решения, дискриминант должен быть неотрицательным:

cos² x ≥ 0, что всегда верно.

Теперь найдем корни уравнения:

sin x = (-b ± √D) / 2a = (-3cos x ± cos x) / 2.

Это дает два случая:

1. sin x = (-3cos x + cos x) / 2 = -2cos x / 2 = -cos x;
2. sin x = (-3cos x - cos x) / 2 = -4cos x / 2 = -2cos x.

Теперь у нас есть два уравнения:

• sin x = -cos x;
• sin x = -2cos x.

Первое уравнение sin x = -cos x можно решить, используя тригонометрические функции:

tan x = -1, что дает x = 3π/4 + kπ, где k – целое число.

Второе уравнение sin x = -2cos x не имеет решений, так как максимальное значение sin x равно 1, а -2cos x может принимать значения меньше -1.

Таким образом, окончательное решение уравнения:

x = 3π/4 + kπ, где k – целое число.