Дана функция: 8x^2 - x^4. Нужно найти:

1. а) точки максимума и минимума функции;
2. б) промежутки возрастания и убывания;
3. в) наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [-1:3].

Алгебра 11 класс Исследование функций алгебра 11 класс функция 8x^2 - x^4 точки максимума точки минимума промежутки возрастания промежутки убывания наибольшее значение наименьшее значение промежуток [-1:3] Новый

Давайте решим задачу по шагам.

а) Найдем точки максимума и минимума функции.

Для начала, найдем производную функции f(x) = 8x^2 - x^4.

• f'(x) = 16x - 4x^3.

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

• 16x - 4x^3 = 0.

Вынесем общий множитель:

• 4x(4 - x^2) = 0.

Теперь решим уравнение:

• 4x = 0, отсюда x = 0;
• 4 - x^2 = 0, отсюда x^2 = 4, значит x = ±2.

Таким образом, мы нашли критические точки: x = -2, x = 0, x = 2.

Теперь определим, являются ли эти точки максимумами или минимумами. Для этого используем вторую производную:

• f''(x) = 16 - 12x^2.

Подставим найденные значения x:

• f''(-2) = 16 - 12(-2)^2 = 16 - 48 = -32 (максимум);
• f''(0) = 16 - 12(0)^2 = 16 (минимум);
• f''(2) = 16 - 12(2)^2 = 16 - 48 = -32 (максимум).

Таким образом, точки максимума: x = -2 и x = 2, и точка минимума: x = 0.

б) Теперь найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Мы уже нашли критические точки: x = -2, x = 0, x = 2. Теперь определим знаки производной f'(x) на интервалах, разделенных этими точками:

• (-∞, -2);
• (-2, 0);
• (0, 2);
• (2, +∞).

Теперь выбираем тестовые точки:

• Для интервала (-∞, -2) возьмем x = -3: f'(-3) = 16(-3) - 4(-3)^3 = -48 + 108 = 60 (положительная, функция возрастает);
• Для интервала (-2, 0) возьмем x = -1: f'(-1) = 16(-1) - 4(-1)^3 = -16 + 4 = -12 (отрицательная, функция убывает);
• Для интервала (0, 2) возьмем x = 1: f'(1) = 16(1) - 4(1)^3 = 16 - 4 = 12 (положительная, функция возрастает);
• Для интервала (2, +∞) возьмем x = 3: f'(3) = 16(3) - 4(3)^3 = 48 - 108 = -60 (отрицательная, функция убывает).

Итак, функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, 2), а убывает на (-2, 0) и (2, +∞).

в) Теперь найдем наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [-1, 3].

Для этого подставим в функцию f(x) значения из критических точек и границ промежутка:

• f(-1) = 8(-1)^2 - (-1)^4 = 8 - 1 = 7;
• f(0) = 8(0)^2 - (0)^4 = 0;
• f(2) = 8(2)^2 - (2)^4 = 32 - 16 = 16;
• f(3) = 8(3)^2 - (3)^4 = 72 - 81 = -9.

Теперь сравним полученные значения:

• f(-1) = 7;
• f(0) = 0;
• f(2) = 16;
• f(3) = -9.

Наибольшее значение функции на промежутке [-1, 3] равно 16 (при x = 2), а наименьшее значение равно -9 (при x = 3).

Итак, подводя итог:

• Точки максимума: x = -2 и x = 2; точка минимума: x = 0.
• Промежутки возрастания: (-∞, -2) и (0, 2); промежутки убывания: (-2, 0) и (2, +∞).
• Наибольшее значение на [-1, 3]: 16; наименьшее значение: -9.