Как найти точку максимума функции y=x^3+2x^2+x+3?

Алгебра 11 класс Исследование функций алгебра 11 класс точка максимума функция y=x^3+2x^2+x+3 нахождение максимума производная критические точки анализ функции экстремумы функции Новый

Чтобы найти точку максимума функции y = x^3 + 2x^2 + x + 3, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.

1. Найдите производную функции.

   Первым шагом мы находим первую производную функции y. Производная показывает, как изменяется функция, и позволяет нам находить критические точки, которые могут быть максимумами или минимумами.

   Для нашей функции y = x^3 + 2x^2 + x + 3, производная будет:

   y' = 3x^2 + 4x + 1.

2. Найдите критические точки.

   Теперь нам нужно найти критические точки, приравняв производную к нулю:

   3x^2 + 4x + 1 = 0.

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

   D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4.

   Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня:

   x1 = (-b - √D) / (2a) и x2 = (-b + √D) / (2a).

   Подставляя значения:

   x1 = (-4 - 2) / 6 = -1, x2 = (-4 + 2) / 6 = -1/3.

3. Определите, является ли каждая критическая точка максимумом или минимумом.

   Для этого мы можем использовать вторую производную. Найдем вторую производную функции:

   y'' = 6x + 4.

   Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

   • Для x1 = -1: y''(-1) = 6*(-1) + 4 = -6 + 4 = -2 (отрицательное значение, значит, это максимум).
   • Для x2 = -1/3: y''(-1/3) = 6*(-1/3) + 4 = -2 + 4 = 2 (положительное значение, значит, это минимум).
4. Найдите координаты точки максимума.

   Теперь мы знаем, что x = -1 — это точка максимума. Подставим это значение в исходную функцию, чтобы найти значение y:

   y(-1) = (-1)^3 + 2*(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3.

   Таким образом, точка максимума функции y = x^3 + 2x^2 + x + 3 находится в координатах (-1, 3).

В итоге, мы нашли, что точка максимума функции — это точка (-1, 3).