Похожие вопросы
2024-11-08 16:54:27
Дана функция: f(x)=-x^3+3x+2
- Как найти промежутки возрастания и убывания функции?
- Как определить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [1:3]?
Алгебра 11 класс Исследование функций алгебра 11 класс функция f(x)=-x^3+3x+2 промежутки возрастания промежутки убывания наибольшее значение наименьшее значение промежуток [1:3] анализ функции производная функции экстремумы функции
2024-12-10 12:39:04
Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, а также наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, необходимо выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найдем производную функцииСначала найдем первую производную функции f(x). Производная поможет нам определить, где функция возрастает, а где убывает.
f(x) = -x^3 + 3x + 2
Находим производную:
f'(x) = -3x^2 + 3
Шаг 2: Найдем критические точкиЧтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
-3x^2 + 3 = 0
Решаем уравнение:
- -3x^2 = -3
- x^2 = 1
- x = ±1
Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.
Шаг 3: Определим знаки производнойТеперь нам нужно определить, в каких интервалах функция возрастает или убывает. Для этого рассмотрим промежутки, образованные критическими точками:
- (-∞, -1)
- (-1, 1)
- (1, +∞)
Выберем тестовые точки из каждого интервала:
- Для интервала (-∞, -1), например, x = -2:
- Для интервала (-1, 1), например, x = 0:
- Для интервала (1, +∞), например, x = 2:
f'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 (отрицательное, значит функция убывает)
f'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 (положительное, значит функция возрастает)
f'(2) = -3(2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 (отрицательное, значит функция убывает)
Функция возрастает на промежутке (-1, 1) и убывает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞).
Шаг 4: Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [1:3]Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке [1, 3], нужно вычислить значения функции в критических точках и на границах промежутка:
- f(1) = -1^3 + 3*1 + 2 = -1 + 3 + 2 = 4
- f(3) = -3^3 + 3*3 + 2 = -27 + 9 + 2 = -16
На промежутке [1, 3] у нас есть только одна критическая точка x = 1, так как x = -1 не входит в этот промежуток.
Итог:Наибольшее значение функции на промежутке [1, 3] равно f(1) = 4, а наименьшее значение равно f(3) = -16.
