Дана функция: f(x)=-x^3+3x+2

1. Как найти промежутки возрастания и убывания функции?
2. Как определить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [1:3]?

Алгебра 11 класс Исследование функций алгебра 11 класс функция f(x)=-x^3+3x+2 промежутки возрастания промежутки убывания наибольшее значение наименьшее значение промежуток [1:3] анализ функции производная функции экстремумы функции Новый

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, а также наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции

Сначала найдем первую производную функции f(x). Производная поможет нам определить, где функция возрастает, а где убывает.

f(x) = -x^3 + 3x + 2

Находим производную:

f'(x) = -3x^2 + 3

Шаг 2: Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

-3x^2 + 3 = 0

Решаем уравнение:

• -3x^2 = -3
• x^2 = 1
• x = ±1

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.

Шаг 3: Определим знаки производной

Теперь нам нужно определить, в каких интервалах функция возрастает или убывает. Для этого рассмотрим промежутки, образованные критическими точками:

• (-∞, -1)
• (-1, 1)
• (1, +∞)

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -1), например, x = -2:

f'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 (отрицательное, значит функция убывает)

• Для интервала (-1, 1), например, x = 0:

f'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 (положительное, значит функция возрастает)

• Для интервала (1, +∞), например, x = 2:

f'(2) = -3(2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 (отрицательное, значит функция убывает)

Итог:

Функция возрастает на промежутке (-1, 1) и убывает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞).

Шаг 4: Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [1:3]

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке [1, 3], нужно вычислить значения функции в критических точках и на границах промежутка:

• f(1) = -1^3 + 3*1 + 2 = -1 + 3 + 2 = 4
• f(3) = -3^3 + 3*3 + 2 = -27 + 9 + 2 = -16

На промежутке [1, 3] у нас есть только одна критическая точка x = 1, так как x = -1 не входит в этот промежуток.

Итог:

Наибольшее значение функции на промежутке [1, 3] равно f(1) = 4, а наименьшее значение равно f(3) = -16.