Для анализа функции f(x) = x³ + 2x² - x + 3, нам нужно выполнить несколько шагов. Начнем с нахождения производной функции, так как стационарные точки определяются именно через производную.

Находим первую производную функции f(x):

• f'(x) = 3x² + 4x - 1

Стационарные точки находятся там, где производная равна нулю:

• 3x² + 4x - 1 = 0

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 4² - 4 * 3 * (-1) = 16 + 12 = 28

Теперь находим корни уравнения:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-4 + √28) / 6
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-4 - √28) / 6

Приблизительно:

• x₁ ≈ 0.215
• x₂ ≈ -1.215

Для этого необходимо проанализировать знак производной f'(x) на интервалах, определяемых стационарными точками.

• Интервалы: (-∞, -1.215),(-1.215, 0.215),(0.215, +∞)

Выбираем тестовые точки:

• Для x = -2 (интервал (-∞, -1.215)): f'(-2) = 3(-2)² + 4(-2) - 1 = 12 - 8 - 1 = 3 > 0 (возрастает)
• Для x = 0 (интервал (-1.215, 0.215)): f'(0) = 3(0)² + 4(0) - 1 = -1 < 0 (убывает)
• Для x = 1 (интервал (0.215, +∞)): f'(1) = 3(1)² + 4(1) - 1 = 3 + 4 - 1 = 6 > 0 (возрастает)

Таким образом, мы имеем:

• Функция возрастает на интервалах: (-∞, -1.215) и (0.215, +∞)
• Функция убывает на интервале: (-1.215, 0.215)

Локальный максимум будет в точке, где функция переходит из возрастания в убывание, а локальный минимум — из убывания в возрастание:

• Точка локального максимума: x ≈ -1.215
• Точка локального минимума: x ≈ 0.215

Итак, мы нашли:

• Стационарные точки: x ≈ -1.215 и x ≈ 0.215
• Промежутки возрастания: (-∞, -1.215) и (0.215, +∞)
• Промежутки убывания: (-1.215, 0.215)
• Точка локального максимума: x ≈ -1.215
• Точка локального минимума: x ≈ 0.215