Дана функция f(x)=x³+2x²-x+3. Необходимо найти:

1. стационарные точки
2. промежутки возрастания
3. промежутки убывания
4. точки локального максимума
5. точки локального минимума

Алгебра 11 класс Исследование функций функция f(x) стационарные точки возрастание убывание локальное максимум локальное минимум Новый

Для анализа функции f(x) = x³ + 2x² - x + 3, нам нужно выполнить несколько шагов. Начнем с нахождения производной функции, так как стационарные точки определяются именно через производную.

Шаг 1: Нахождение производной

Находим первую производную функции f(x):

• f'(x) = 3x² + 4x - 1

Шаг 2: Нахождение стационарных точек

Стационарные точки находятся там, где производная равна нулю:

• 3x² + 4x - 1 = 0

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 4² - 4 * 3 * (-1) = 16 + 12 = 28

Теперь находим корни уравнения:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-4 + √28) / 6
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-4 - √28) / 6

Приблизительно:

• x₁ ≈ 0.215
• x₂ ≈ -1.215

Шаг 3: Определение промежутков возрастания и убывания

Для этого необходимо проанализировать знак производной f'(x) на интервалах, определяемых стационарными точками.

• Интервалы: (-∞, -1.215), (-1.215, 0.215), (0.215, +∞)

Выбираем тестовые точки:

• Для x = -2 (интервал (-∞, -1.215)): f'(-2) = 3(-2)² + 4(-2) - 1 = 12 - 8 - 1 = 3 > 0 (возрастает)
• Для x = 0 (интервал (-1.215, 0.215)): f'(0) = 3(0)² + 4(0) - 1 = -1 < 0 (убывает)
• Для x = 1 (интервал (0.215, +∞)): f'(1) = 3(1)² + 4(1) - 1 = 3 + 4 - 1 = 6 > 0 (возрастает)

Таким образом, мы имеем:

• Функция возрастает на интервалах: (-∞, -1.215) и (0.215, +∞)
• Функция убывает на интервале: (-1.215, 0.215)

Шаг 4: Определение точек локального максимума и минимума

Локальный максимум будет в точке, где функция переходит из возрастания в убывание, а локальный минимум — из убывания в возрастание:

• Точка локального максимума: x ≈ -1.215
• Точка локального минимума: x ≈ 0.215

Шаг 5: Подведение итогов

Итак, мы нашли:

• Стационарные точки: x ≈ -1.215 и x ≈ 0.215
• Промежутки возрастания: (-∞, -1.215) и (0.215, +∞)
• Промежутки убывания: (-1.215, 0.215)
• Точка локального максимума: x ≈ -1.215
• Точка локального минимума: x ≈ 0.215