Дана функция у=-(3х-1)^5/3+20х. 1). Как исследовать функцию на монотонность и экстремумы? 2). Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале (1;3]?

Алгебра 11 класс Исследование функций функция монотонность экстремумы наибольшее значение наименьшее значение полуинтервал алгебра 11 класс Новый

Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, а также найти наибольшее и наименьшее значения на полуинтервале (1;3], следуем поэтапно.

1. Исследование функции на монотонность и экстремумы:

Шаг 1: Найдем производную функции.

Для функции у = -(3х-1)^(5/3) + 20х, применим правила дифференцирования:

• Производная от -(3х-1)^(5/3) вычисляется с использованием цепного правила.
• Производная от 20х равна 20.

Шаг 2: Найдем производную:

• y' = -((5/3) * (3х-1)^(2/3) * 3) + 20 = -5(3х-1)^(2/3) + 20.

Шаг 3: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• 0 = -5(3х-1)^(2/3) + 20.
• 5(3х-1)^(2/3) = 20.
• (3х-1)^(2/3) = 4.
• 3х-1 = ±4^(3/2) = ±8.

Решаем два уравнения:

• 3х - 1 = 8 → 3х = 9 → х = 3.
• 3х - 1 = -8 → 3х = -7 → х = -7/3 (не входит в рассматриваемый интервал).

Таким образом, критическая точка на интервале (1;3] - это х = 3.

Шаг 4: Исследуем знак производной на интервале:

• Выберем тестовую точку, например, х = 2:
• Подставим в производную: y'(2) = -5(3*2-1)^(2/3) + 20 = -5(5)^(2/3) + 20.
• Поскольку (5)^(2/3) > 0, то y'(2) < 20, значит, производная положительна.

Таким образом, функция возрастает на интервале (1; 3).

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на полуинтервале (1;3]:

Шаг 1: Найдем значения функции в критической точке и на границах интервала.

• На границе х = 1: y(1) = - (3*1 - 1)^(5/3) + 20*1 = - (2)^(5/3) + 20.
• На границе х = 3: y(3) = - (3*3 - 1)^(5/3) + 20*3 = - (8)^(5/3) + 60.

Шаг 2: Сравним значения:

• y(1) = - (2)^(5/3) + 20 (будем считать это значение).
• y(3) = - (8)^(5/3) + 60 (это значение также нужно посчитать).

Шаг 3: Сравните y(1) и y(3) для определения наибольшего и наименьшего значений на интервале (1;3].

Таким образом, наибольшее значение функции будет в точке с большим значением, а наименьшее - в точке с меньшим значением.

Итак, мы исследовали функцию на монотонность и экстремумы, а также нашли наибольшее и наименьшее значения на заданном полуинтервале.