Для решения уравнения cos(3πa) + 2cos(2πa) = 0 начнем с того, что выразим cos(3πa) через cos(2πa).

Сначала можно записать уравнение в следующем виде:

• cos(3πa) = -2cos(2πa)

Теперь воспользуемся формулой для косинуса тройного угла:

• cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Подставим x = 2πa в формулу:

• cos(3πa) = cos(3 * (2πa / 2)) = 4cos^3(2πa) - 3cos(2πa)

Теперь подставим это в уравнение:

• 4cos^3(2πa) - 3cos(2πa) + 2cos(2πa) = 0

Упростим уравнение:

• 4cos^3(2πa) - cos(2πa) = 0

Вынесем cos(2πa) за скобки:

• cos(2πa)(4cos^2(2πa) - 1) = 0

Теперь у нас есть два случая:

1. cos(2πa) = 0
2. 4cos^2(2πa) - 1 = 0

Рассмотрим первый случай:

• cos(2πa) = 0
• Это происходит, когда 2πa = (2n + 1)π/2 для некоторого целого n.
• Отсюда a = (2n + 1)/4.

Но поскольку 0 < a < 1, то возможные значения n могут быть только 0:

• n = 0: a = 1/4
• n = 1: a = 3/4

Оба значения удовлетворяют условию, но только 3/4 находится в диапазоне (0, 1).

Теперь рассмотрим второй случай:

• 4cos^2(2πa) - 1 = 0
• 4cos^2(2πa) = 1
• cos^2(2πa) = 1/4
• cos(2πa) = ±1/2

Решим это уравнение:

• cos(2πa) = 1/2: 2πa = π/3 + 2kπ или 2πa = 5π/3 + 2kπ
• cos(2πa) = -1/2: 2πa = 2π/3 + 2kπ или 2πa = 4π/3 + 2kπ

Решая каждое из этих уравнений, мы получаем:

• Для cos(2πa) = 1/2: a = 1/6 и a = 5/6
• Для cos(2πa) = -1/2: a = 1/4 и a = 3/4

Теперь, чтобы найти значение a = 2/3, мы можем подставить это значение обратно в исходное уравнение и проверить:

• cos(3π(2/3)) + 2cos(2π(2/3)) = cos(2π) + 2cos(4π/3)
• cos(2π) = 1 и cos(4π/3) = -1/2
• 1 + 2*(-1/2) = 1 - 1 = 0

Таким образом, мы доказали, что a = 2/3 является решением уравнения cos(3πa) + 2cos(2πa) = 0.