Докажите, что сумма log3(7) и log7(3) больше 2.

Алгебра 11 класс Логарифмы логарифмы сумма логарифмов доказательство неравенства алгебра математические свойства логарифмов Новый

Чтобы доказать, что сумма log3(7) и log7(3) больше 2, начнем с обозначения:

• Пусть x = log3(7).
• Тогда, по определению логарифма, 3^x = 7.
• Теперь найдем log7(3): log7(3) = 1 / log3(7) = 1 / x.

Теперь мы можем выразить сумму:

S = log3(7) + log7(3) = x + 1/x.

Теперь нам нужно показать, что S > 2.

Рассмотрим функцию f(x) = x + 1/x. Для x > 0, найдем производную этой функции:

• f'(x) = 1 - 1/x^2.
• f'(x) = 0, когда 1 - 1/x^2 = 0, что приводит к x^2 = 1, т.е. x = 1.

Теперь исследуем поведение функции f(x):

• Для x < 1, f'(x) < 0, значит, функция убывает.
• Для x > 1, f'(x) > 0, значит, функция возрастает.

Таким образом, x = 1 является минимумом функции f(x).

Теперь найдем значение f(1):

f(1) = 1 + 1/1 = 2.

Поскольку f(x) достигает своего минимума при x = 1 и для всех x > 0, f(x) > 2, когда x ≠ 1.

Теперь вернемся к нашему выражению S:

Мы знаем, что x = log3(7) > 0, и x = 1 только в случае, если 3^1 = 7, что не так. Следовательно, x ≠ 1.

Таким образом, S = x + 1/x > 2.

Мы доказали, что сумма log3(7) и log7(3) больше 2:

log3(7) + log7(3) > 2.