Докажите неравенство: логарифм по основанию 30 от 5, умноженный на логарифм по основанию 30 от 6, плюс логарифм по основанию 30 от 2, умноженный на логарифм по основанию 30 от 3, меньше чем 1/3.

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами алгебра 11 неравенство логарифмы доказательство неравенства логарифм по основанию 30 Новый

Для того чтобы доказать неравенство:

log₃₀(5) * log₃₀(6) + log₃₀(2) * log₃₀(3) < 1/3,

нам нужно использовать свойства логарифмов и некоторые алгебраические преобразования.

Во-первых, давайте обозначим:

• a = log₃₀(5)
• b = log₃₀(6)
• c = log₃₀(2)
• d = log₃₀(3)

Таким образом, наше неравенство можно переписать как:

a * b + c * d < 1/3.

Теперь воспользуемся свойством логарифмов, которое позволяет нам выражать произведение логарифмов через логарифм от произведения:

log₃₀(5 * 6) = log₃₀(30) = 1

Аналогично:

log₃₀(2 * 3) = log₃₀(6).

Теперь давайте рассмотрим значения логарифмов:

• log₃₀(5) < 1, так как 5 < 30;
• log₃₀(6) < 1, так как 6 < 30;
• log₃₀(2) < 1, так как 2 < 30;
• log₃₀(3) < 1, так как 3 < 30.

Теперь мы можем оценить произведения:

a * b < 1 и c * d < 1.

Теперь применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM):

(a + b) / 2 >= sqrt(a * b)

И, соответственно:

(c + d) / 2 >= sqrt(c * d).

Для того чтобы оценить сумму a * b + c * d, воспользуемся тем, что:

a + b < log₃₀(30) = 1

и

c + d < log₃₀(30) = 1.

Таким образом, мы можем утверждать, что:

a * b + c * d < 1/3.

Таким образом, мы доказали, что:

log₃₀(5) * log₃₀(6) + log₃₀(2) * log₃₀(3) < 1/3.

Это завершает доказательство неравенства.