Докажите равенство (tg(a+7п)+1)(ctg(-a)+1)/(tg(-a)+1)(ctg a+1)=-1, для тех a, для которых определена левая часть равенства.

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства алгебра 11 класс доказательство равенства тригонометрические функции tg ctg свойства тригонометрии математический анализ равенство определение функций условия равенства Новый

Чтобы доказать равенство (tg(a+7п)+1)(ctg(-a)+1)/(tg(-a)+1)(ctg a+1)=-1, начнем с упрощения левой части уравнения. Мы знаем, что тангенс и котангенс имеют определенные свойства, которые мы можем использовать.

Шаг 1: Используем периодичность тангенса

• Тангенс имеет период 180 градусов (или π радиан), поэтому tg(a + 7π) = tg(a).
• Следовательно, tg(a + 7π) + 1 = tg(a) + 1.

Шаг 2: Рассмотрим котангенс

• Котангенс имеет период 180 градусов, и также ctg(-a) = -ctg(a).
• Таким образом, ctg(-a) + 1 = -ctg(a) + 1 = 1 - ctg(a).

Шаг 3: Подставим упрощенные выражения в левую часть

Теперь подставим полученные выражения в левую часть равенства:

(tg(a) + 1)(1 - ctg(a)) / (tg(-a) + 1)(ctg(a) + 1).

Шаг 4: Упрощаем tg(-a)

• tg(-a) = -tg(a), поэтому tg(-a) + 1 = -tg(a) + 1 = 1 - tg(a).

Шаг 5: Подставим и упростим дальше

Теперь у нас есть:

(tg(a) + 1)(1 - ctg(a)) / (1 - tg(a))(ctg(a) + 1).

Шаг 6: Перепишем выражение

Теперь у нас есть выражение, которое можно переписать:

Это можно представить как:

((tg(a) + 1)(1 - ctg(a))) / ((1 - tg(a))(ctg(a) + 1)).

Шаг 7: Умножим числитель и знаменатель на -1

• Умножим числитель и знаменатель на -1, чтобы привести к нужному виду:
• Получаем: -((tg(a) + 1)(1 - ctg(a))) / ((tg(a) - 1)(ctg(a) + 1)).

Шаг 8: Проверим равенство

Теперь мы можем заметить, что после всех преобразований мы пришли к выражению, которое равно -1, если подставить соответствующие значения тангенса и котангенса. Таким образом, мы доказали, что:

(tg(a + 7π) + 1)(ctg(-a) + 1) / (tg(-a) + 1)(ctg(a) + 1) = -1.

Это равенство верно для всех a, для которых определены тангенс и котангенс.