Зная, что cos a = 12/13 и угол a равен 3π/2, найдите tg(π/4 + a).

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства алгебра 11 класс Тригонометрия косинус тангенс угол tg(π/4 + a) cos a 3π/2 нахождение тангенса формулы тригонометрии задачи по алгебре Новый

Для решения задачи нам нужно найти значение tg(π/4 + a), зная, что cos a = 12/13 и угол a равен 3π/2. Начнем с того, что нам необходимо найти значение sin a, так как оно потребуется для вычисления tg a.

Шаг 1: Нахождение sin a

• Мы знаем, что sin² a + cos² a = 1. Подставим значение cos a:
• sin² a + (12/13)² = 1.
• Это можно записать как: sin² a + 144/169 = 1.
• Теперь выразим sin² a: sin² a = 1 - 144/169 = 25/169.
• Теперь найдем sin a: sin a = √(25/169) = 5/13.

Однако, так как угол a равен 3π/2, а это соответствует четвертой четверти, то значение sin a будет отрицательным. Таким образом, sin a = -5/13.

Шаг 2: Нахождение tg a

• Теперь мы можем найти tg a, используя формулу tg a = sin a / cos a.
• tg a = (-5/13) / (12/13) = -5/12.

Шаг 3: Нахождение tg(π/4 + a)

• Теперь мы воспользуемся формулой для tg суммы углов: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 - tg α * tg β), где α = π/4 и β = a.
• Значение tg π/4 = 1. Подставим все известные значения:
• tg(π/4 + a) = (tg(π/4) + tg a) / (1 - tg(π/4) * tg a) = (1 + (-5/12)) / (1 - 1 * (-5/12)).
• Теперь упростим числители и знаменатели:
• Числитель: 1 - 5/12 = 12/12 - 5/12 = 7/12.
• Знаменатель: 1 + 5/12 = 12/12 + 5/12 = 17/12.

Теперь мы можем подставить упрощенные значения в формулу:

• tg(π/4 + a) = (7/12) / (17/12) = 7/17.

Ответ: tg(π/4 + a) = 7/17.