Похожие вопросы
2025-08-29 02:18:07
Докажите тождество (1 - sin2 α)(1 + tg2α) = 1.
Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества тождество алгебра доказательство тождества тригонометрические функции алгебра 11 класс sin и tg алгебраические преобразования тождественные равенства
2025-08-29 02:18:15
Для того чтобы доказать тождество (1 - sin² α)(1 + tg² α) = 1, начнем с разбора левой части уравнения и применения тригонометрических тождеств.
1. Вспомним, что тангенс можно выразить через синус и косинус:
- tg α = sin α / cos α
- tg² α = sin² α / cos² α
2. Теперь подставим tg² α в наше выражение:
(1 - sin² α)(1 + tg² α) = (1 - sin² α)(1 + sin² α / cos² α)
3. Упрощаем выражение в скобках:
1 + sin² α / cos² α = (cos² α + sin² α) / cos² α
4. Используем основное тригонометрическое тождество:
- cos² α + sin² α = 1
5. Подставляем это значение:
(1 - sin² α)((1) / cos² α) = (1 - sin² α) / cos² α
6. Теперь упростим 1 - sin² α:
1 - sin² α = cos² α
7. Подставляем это значение обратно в выражение:
cos² α / cos² α = 1
Таким образом, мы получили, что левая часть тождества равна 1:
(1 - sin² α)(1 + tg² α) = 1.
Таким образом, мы доказали тождество:
(1 - sin² α)(1 + tg² α) = 1.