Как можно обосновать тождество:

(cos 11 a - cos 9 a - cos 7 a + cos 5 a)/(4cos 8 a * sin 2 a) = - sin a?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества алгебра 11 класс тождество обоснование тождества тригонометрические функции cos sin решение уравнений математические доказательства Новый

Чтобы обосновать данное тождество, начнем с левой части уравнения:

(cos 11a - cos 9a - cos 7a + cos 5a)

Мы можем использовать формулы для разности косинусов, чтобы упростить выражение. Напомним, что разность косинусов можно представить через синус:

• cos A - cos B = -2 sin((A + B)/2) sin((A - B)/2)

Теперь применим эту формулу к паре косинусов:

1. Сначала упростим cos 11a - cos 9a:
• A = 11a, B = 9a
• cos 11a - cos 9a = -2 sin((11a + 9a)/2) sin((11a - 9a)/2) = -2 sin(10a) sin(a)
2. Теперь упростим cos 7a - cos 5a:
• A = 7a, B = 5a
• cos 7a - cos 5a = -2 sin((7a + 5a)/2) sin((7a - 5a)/2) = -2 sin(6a) sin(a)

Теперь подставим эти результаты обратно в исходное выражение:

(-2 sin(10a) sin(a) - (-2 sin(6a) sin(a)))

Это можно упростить до:

-2 sin(a) (sin(10a) - sin(6a))

Теперь у нас есть:

(-2 sin(a) (sin(10a) - sin(6a))) / (4 cos(8a) sin(2a))

Упростим дробь:

- sin(a) (sin(10a) - sin(6a)) / (2 cos(8a) sin(2a))

Теперь нам нужно упростить выражение sin(10a) - sin(6a). Используем формулу разности синусов:

• sin A - sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A - B)/2)

Применим эту формулу:

1. A = 10a, B = 6a
2. sin(10a) - sin(6a) = 2 cos(8a) sin(2a)

Теперь подставим это в уравнение:

- sin(a) * (2 cos(8a) sin(2a)) / (2 cos(8a) sin(2a))

Мы видим, что выражение в числителе и знаменателе сокращается, и остается:

- sin(a)

Таким образом, мы пришли к правой части тождества:

- sin(a)

Таким образом, мы обосновали тождество:

(cos 11a - cos 9a - cos 7a + cos 5a)/(4cos 8a * sin 2a) = - sin a