Как можно доказать тождество: (cos(a+B)+cos(a-B))/(sin(a+B)-sin(a-B))=ctgB?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества доказать тождество алгебра 11 класс тригонометрические функции cos и sin ctg B математические доказательства Новый

Привет! Давай разберемся с этим тождеством. Оно выглядит немного сложным, но на самом деле все не так страшно. Нам нужно использовать формулы сложения углов для косинуса и синуса. Давай я расскажу, как это сделать шаг за шагом.

1. Используем формулы для косинуса:
   • cos(a + B) = cos(a)cos(B) - sin(a)sin(B)
   • cos(a - B) = cos(a)cos(B) + sin(a)sin(B)
2. Складываем косинусы:

   Теперь подставим эти формулы в числитель:

   cos(a + B) + cos(a - B) = (cos(a)cos(B) - sin(a)sin(B)) + (cos(a)cos(B) + sin(a)sin(B))

   Это упростится до:

   2cos(a)cos(B)

3. Теперь используем формулы для синуса:
   • sin(a + B) = sin(a)cos(B) + cos(a)sin(B)
   • sin(a - B) = sin(a)cos(B) - cos(a)sin(B)
4. Вычитаем синусы:

   Теперь подставим эти формулы в знаменатель:

   sin(a + B) - sin(a - B) = (sin(a)cos(B) + cos(a)sin(B)) - (sin(a)cos(B) - cos(a)sin(B))

   Это упростится до:

   2cos(a)sin(B)

5. Теперь подставим все обратно в тождество:

   Получается:

   (2cos(a)cos(B)) / (2cos(a)sin(B))

   Мы можем сократить 2cos(a) в числителе и знаменателе (при условии, что cos(a) не равен нулю):

   Это дает нам cos(B) / sin(B), что равно ctg(B).

Итак, мы доказали, что (cos(a+B) + cos(a-B)) / (sin(a+B) - sin(a-B)) = ctg(B). Надеюсь, это было понятно! Если есть вопросы, всегда рад помочь!